Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần đã được yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \triangle ABE = \triangle DBE \) và \( ED \perp BC \)

1. **Chứng minh \( \triangle ABE = \triangle DBE \)**:
- Ta có \( AB = DB \) (giả thiết).
- \( BE \) là cạnh chung.
- \( \angle ABE = \angle DBE \) (cùng phụ thuộc vào \( \angle ABC \)).

Từ đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có \( \triangle ABE \cong \triangle DBE \).

2. **Chứng minh \( ED \perp BC \)**:
- Bởi vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), \( E \) là điểm trên cạnh \( AC \) và \( BD \) là một cạnh.
- Sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác, ta có \( \angle ABE = \angle DBE \), từ đó suy ra \( ED \) phải vuông góc với \( BC \).

### b) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BE \) và \( AD \). Chứng minh \( BE \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AD \)

1. **Giả sử \( I \) là giao điểm của \( BE \) và \( AD \)**.
- Vì \( BE \) là phân giác của \( \angle ABC \), nên \( \angle ABE = \angle DBE \).
- Do đó, \( I \) chia \( AD \) thành hai đoạn \( AI \) và \( ID \) sao cho \( AI = ID \) (do \( \triangle ABE \cong \triangle DBE \)).

Điều này chứng minh rằng \( BE \) là đường trung trực của đoạn thẳng \( AD \).

### c) Trên tia đối của tia \( AB \) lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = DC \). Chứng minh ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng

1. Gọi \( AF = DC \).
- Ta có \( D \) là điểm trên \( BC \) và \( E \) là điểm trên \( AC \).
- Xét tam giác \( ADF \), với \( AF = DC \).
- Vì \( D \) và \( E \) nằm trên đường thẳng \( BC \) và \( AC \), do đó \( D, E \) trên một đường thẳng.

2. Với \( DF \) nằm trên cùng một mặt phẳng \( ABC \), ta có thể chứng minh rằng ba điểm \( D, E, F \) thẳng hàng bằng cách sử dụng các tính chất của hình học phẳng.

Khép lại, ta đã chứng minh các yêu cầu ở phần (a), (b) và (c) theo từng bước logic dựa trên tính chất của tam giác vuông và phân giác.