Để tính giới hạn có dạng như sau:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 3}
\]

Ta có thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp để giải:

1. Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số:

\[
\frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 3} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 5}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 5}}
\]

2. Tử số sẽ trở thành:

\[
(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 5})(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 5}) = (x + 1) - (x + 5) = -4
\]

Và mẫu số vẫn là \(x - 3\).

3. Vậy giới hạn sẽ trở thành:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{-4}{(x - 3)(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 5})}
\]

4. Khi \(x\) tiến đến 3, mẫu số tiến đến 0. Ta cần tìm giới hạn:

\[
\lim_{x \to 3} \frac{-4}{(3 - 3)(\sqrt{3 + 1} + \sqrt{3 + 5})}
\]

Chúng ta sẽ dùng nguyên lý đạo hàm L'Hôpital để tính giới hạn khi một dạng \( \frac{0}{0} \) xuất hiện. Đạo hàm của tử số và mẫu số:

- Đạo hàm của \( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 5} \) là:

\[
\frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{x + 5}}
\]

- Đạo hàm của \(x - 3\) là \(1\).

5. Tính giới hạn ta có:

\[
\lim_{x \to 3} \left( \frac{\frac{1}{2\sqrt{x + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{x + 5}}}{1} \right)
\]

Thay \(x = 3\):

\[
= \frac{\frac{1}{2\sqrt{4}} - \frac{1}{2\sqrt{8}}} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{4\sqrt{2}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{4}
\]

Từ đây, bạn có thể tính giá trị cụ thể cho \(a\) và \(b\). Khi đã tìm được \(a\) và \(b\), thay vào công thức \(a - 2b\) để hoàn thành bài toán.