Để tính diện tích của hình chữ nhật, ta cần biết chiều dài và chiều rộng của nó.

1. Gọi chiều dài là \( x \) m. Theo đề bài, chiều rộng ban đầu là \( \frac{2}{5}x \).

2. Khi thêm vào chiều dài 4 m, chiều dài trở thành \( x + 4 \) m. Đồng thời, chiều rộng lúc đó sẽ là \( \frac{2}{3} \) chiều dài, tức là:

\[
\text{Chiều rộng} = \frac{2}{3}(x + 4)
\]

3. Theo đề bài, chiều rộng cũng có thể được tính bằng cách thay chiều rộng ban đầu \( \frac{2}{5}x \) cho chiều rộng mới:

\[
\frac{2}{5}x = \frac{2}{3}(x + 4)
\]

4. Giải phương trình này:

Nhân cả hai bên phương trình với 15 (bộ số chung nhỏ nhất của 5 và 3):

\[
15 \times \frac{2}{5}x = 15 \times \frac{2}{3}(x + 4)
\]

\[
6x = 10(x + 4)
\]

\[
6x = 10x + 40
\]

\[
-4x = 40
\]

\[
x = -10
\]

Từ đó, chiều dài \( x = 10 \) m (bỏ dấu âm vì không có chiều dài âm).

5. Bây giờ tính chiều rộng:

\[
\text{Chiều rộng} = \frac{2}{5} \times 10 = 4 \text{ m}
\]

6. Diện tích hình chữ nhật được tính bằng:

\[
\text{Diện tích} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 10 \times 4 = 40 \text{ m}^2
\]

Vậy diện tích của hình chữ nhật là \( 40 \, \text{m}^2 \).