Để giải phương trình \((x-y)\sqrt{2} - x - y - 4 = 0\), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình**:
\[
(x - y)\sqrt{2} - x - y - 4 = 0
\]
Có thể viết lại như sau:
\[
(x - y)\sqrt{2} = x + y + 4
\]

2. **Giải phương trình**:
Ta có thể phân tích phương trình này:
\[
x\sqrt{2} - y\sqrt{2} = x + y + 4
\]
Chuyển vế:
\[
x\sqrt{2} - x = y + y\sqrt{2} + 4
\]
Nghĩa là:
\[
x(\sqrt{2} - 1) = y(\sqrt{2} + 1) + 4
\]

3. **Thay giá trị cho** \(y\):
Giả sử \(y = k\) là một số hữu tỉ, ta có:
\[
x = \frac{y(\sqrt{2} + 1) + 4}{\sqrt{2} - 1}
\]

4. **Tìm các cặp số hữu tỉ**:
Khi thay các giá trị của \(k\) (y) là những số hữu tỉ khác nhau, ta có thể tính được \(x\).

Ví dụ, nếu ta cho \(y = 0\):
\[
x = \frac{0 + 4}{\sqrt{2} - 1} = \frac{4}{\sqrt{2} - 1} = 4(\sqrt{2} + 1) = 4\sqrt{2} + 4
\]
Với \(y = 2\):
\[
x = \frac{2(\sqrt{2} + 1) + 4}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2\sqrt{2} + 2 + 4}{\sqrt{2} - 1}
\]

Tiếp tục thử với nhiều giá trị cho \(y\) để tìm các cặp số hữu tỉ \((x, y)\).

Kết luận là sẽ có nhiều cặp \((x, y)\) thỏa mãn điều kiện đã cho với \(y\) là số hữu tỉ.