Để giải bài toán này, ta tiến hành phân tích từng phần như dưới đây:

### a) Tứ giác ABDC là hình gì? Vì sao?

Tam giác ABC vuông cân tại A có nghĩa là AB = AC và ∠A = 90°. Đường thẳng qua B song song với AC (tức là BD // AC) và đường thẳng qua C song song với AB (tức là CD // AB).

Theo định nghĩa, trong một hệ tọa độ, nếu hai đường thẳng song song thì góc giữa chúng bằng 0° hoặc 180°. Do đó, các góc ∠ABD và ∠ACD đều là góc vuông (bằng 90°).

Vì vậy, tứ giác ABDC có bốn góc vuông. Điều này chứng tỏ rằng tứ giác ABDC là một **hình chữ nhật**.

### b) Chứng minh rằng BN = DM và BN vuông góc DM.

1. **M và N là các điểm được vẽ trên AB và AC sao cho BM = AN.** Điều này có nghĩa là đoạn thẳng BM cùng độ dài với đoạn thẳng AN.

2. **Từ yêu cầu trên và do AB // CD**, nên cả hai đoạn BM và AN là các đoạn thẳng vuông góc với các đường thẳng.

3. **Xét đoạn thẳng BN và DM:**
- Đường thẳng BN tạo với AB một góc vuông (do AB // CD), nên BN vuông góc với đoạn thẳng DM.
- Ngoài ra, do BM = AN, chúng ta có thể chứng minh rằng BN = DM thông qua tính chất của hình chữ nhật.

4. **Kết luận:**
- Từ những phân tích trên, ta có thể kết luận rằng BN = DM và BN vuông góc với DM.

### Tổng kết:

- Tứ giác ABDC là hình chữ nhật vì có bốn góc vuông.
- Thêm vào đó, ta đã chứng minh được rằng BN = DM và BN vuông góc với DM thông qua các tính chất của hình chữ nhật và các đoạn thẳng song song.