Chúng ta cùng giải bài toán dưới đây cho tam giác ABC cân tại A.

### a) Chứng minh tứ giác AKMI là hình thoi.

- **Cách tiếp cận**:
- Vì tam giác ABC cân tại A, nên \( AB = AC \).
- \( K \) và \( I \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \) lần lượt, nên \( AK = KB \) và \( AI = IC \).
- \( AM \) là trung tuyến nên \( AM \perp BC \).

- **Chứng minh**:
- Do \( K \) và \( I \) là trung điểm, kết hợp với \( AM \) là trung tuyến và tính chất của tam giác cân, ta có:
\[
AK = KI, \quad AI = IM.
\]
- Vì \( AK \) và \( IM \) đều bằng nhau, trong khi \( AI \) và \( KI \) cũng bằng nhau.
- Vậy \( AK = KI \) và \( AI = IM \), suy ra tứ giác \( AKMI \) là hình thoi.

### b) Tứ giác AMCN, MKIC là hình gì? Vì sao?

- **Xét tứ giác AMCN**:
- Vì \( I \) là trung điểm của \( AC \), trong khi \( N \) là trung điểm của \( MN \) nên điểm \( M \) nằm giữa \( A \) và \( N \).
- Điều này cho thấy \( AM = CN \) và \( AN = MC \).
- Từ đó, \( AMCN \) là hình chữ nhật.

- **Xét tứ giác MKIC**:
- Bởi vì \( MK \) song song với \( CI \) do \( K \) và \( I \) là các trung điểm, và \( MI \) và \( KC \) cũng song song.
- Điều này xác nhận \( MKIC \) là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh E là trung điểm BN.

- **Chứng minh**:
- Nếu \( E \) là trung điểm của \( AM \) và từ \( I \) là trung điểm của \( AC \), ta có:
\[
AE = EM \quad \text{(E là trung điểm của AM)}.
\]
- Từ mối quan hệ trên và mà \( I \) là trung điểm của \( AC \), ta có \( BN \) sẽ được chia đều cho \( E \), do đó:
\[
BE = EN.
\]
- Vậy \( E \) là trung điểm của \( BN \).

### d) Tìm điều kiện của \( \triangle ABC \) để tứ giác AMCN là hình vuông.

- **Điều kiện**:
- Để \( AMCN \) là hình vuông, các cạnh \( AM \) và \( AC \) phải bằng nhau và các góc phải bằng \( 90^\circ \).
- Vì \( AM \perp BC \) (do \( AM \) là trung tuyến), ta cần thêm điều kiện là \( AB = AC \).

- **Kết luận**:
- Hình vuông sẽ hình thành khi \( \triangle ABC \) là tam giác vuông tại \( A \): \( AB = AC \) và \( AB \perp AC \).

Hy vọng các bước giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn!