Cho ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH (H ∈ BC), AM là trung tuyến. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC

Để giải bài này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh \( AE = DM \)

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
- Giả sử A là điểm gốc (0, 0).
- B có tọa độ (a, 0).
- C có tọa độ (0, b).

2. **Điểm M**:
- Là trung điểm của BC, nên tọa độ \( M = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \).

3. **Hình chiếu D trên AB**:
- D sẽ có tọa độ (x_D, 0) sao cho x_D = a/2, nên D = \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \).

4. **Hình chiếu E trên AC**:
- Hình chiếu của M trên AC sẽ có tọa độ \( (0, y_E) \) với \( y_E = \frac{b}{2} \), nên E = \( \left( 0, \frac{b}{2} \right) \).

5. **Tính độ dài**:
- \( AE = \sqrt{\left( 0 - 0 \right)^2 + \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2} = \frac{b}{2} \)
- \( DM = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( 0 - \frac{b}{2} \right)^2} = \frac{b}{2} \)

6. **Kết luận**:
- Do đó, \( AE = DM \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân

1. **Xét các cạnh**:
- DH và ME là hai cạnh đối diện.
- Tính độ dài các cạnh DH và ME:
- DH là khoảng cách từ D đến H: \( DH = AH \).
- ME là khoảng cách từ M đến E.

2. **Chứng minh độ dài bằng nhau**:
- Nếu DH = ME, thì \( DHME \) là hình thang cân.

### c) Lấy N sao cho M là trung điểm của NE. Kẻ EK ⊥ BC tại K. Chứng minh AK ⊥ KN

1. **Lập N**:
- N sẽ nằm trên đường thẳng nối N và E.

2. **Tính độ dài**:
- Xác định độ dài AK và KN:
- Sử dụng định nghĩa của trung điểm và độ dài.

3. **Chứng minh AK ⊥ KN**:
- Áp dụng định lý Pytago và tính toán độ dài bên trong các tam giác tạo thành để chứng minh AK vuông góc với KN.

Nếu cần hỗ trợ cụ thể hơn về từng bước, bạn hãy cho biết!