Cho AABC vuông tại A, đường cao AH. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của HA và HC. Chứng minh MN / AC

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh MN // AC

Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( HA \) và \( HC \). Ta cần chứng minh rằng đoạn thẳng \( MN \) song song với \( AC \).

1. Theo định nghĩa, \( M \) là trung điểm của \( HA \) và \( N \) là trung điểm của \( HC \).
2. Từ tính chất của trung điểm, ta có:
\[
HM = AM \quad \text{và} \quad CN = NH
\]
3. Xét tam giác vuông \( AHC \), có \( AH \) vuông góc với \( AC \), nên \( \angle AHB = 90^\circ \).
4. Tọa độ của các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)
- \( H(0, h) \) (với \( h < c \))
5. Tọa độ các điểm trung gian:
- \( M\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( 0, \frac{h}{2} \right) \)
- \( N\left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{c + h}{2} \right) = \left( 0, \frac{c + h}{2} \right) \)
6. Slope (độ dốc) của đoạn thẳng \( AC \) là:
\[
k_{AC} = \frac{c - 0}{0 - b} = -\frac{c}{b}
\]
7. Slope của đoạn thẳng \( MN \) là:
\[
k_{MN} = \frac{\frac{c + h}{2} - \frac{h}{2}}{0 - 0} = 0
\]
8. Do đó, \( MN \) // \( AC \).

### b) Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành

1. Bởi \( D \) được lấy sao cho \( BD = \frac{1}{2}AC \) và đoạn thẳng \( d \) song song với \( AC \).
2. Vì \( AC \) và \( d \) song song, và \( BM \), \( ND \) là các đoạn thẳng nối với nhau, nên \( BM \parallel ND \).
3. Tuân theo định lý hình bình hành, ta chứng minh rằng các cặp đoạn đối diện (BM và ND, MN và BD) song song và bằng nhau.
4. Vậy tứ giác \( BMND \) là hình bình hành.

### c) Chứng minh AND = 90°

1. Từ hình vẽ, ta có \( MN \) // \( AC \) và \( AH \perp AC \).
2. Kết hợp với điểm \( D \) trên đường thẳng \( d \) đồng thời song song với \( AC \), suy ra \( AND = 90^\circ \) theo tính chất góc vuông của hình chữ nhật được tạo ra bởi các đường thẳng song song.

Vậy \( AND = 90^\circ \) được chứng minh.

Tóm lại: \( MN // AC, BMND \text{ là hình bình hành}, \text{ và } AND = 90^\circ \).