Chúng ta sẽ giải bài toán này theo từng phần như sau:

### Phần a: Chứng minh rằng \( BC = 2AM \)

Chúng ta để ý rằng điểm \( D \) được xác định sao cho \( AD \perp AB \) và \( AD = AB \). Tương tự, điểm \( E \) được xác định sao cho \( AE \perp AC \) và \( AE = AC \).

Đặt \( A \) tại điểm gốc tọa độ \( (0, 0) \), \( B \) tại \( (b_x, b_y) \) và \( C \) tại \( (c_x, c_y) \). Điểm \( D \) sẽ nằm ở tọa độ \( (b_x, -b_y) \) (vì \( AD \perp AB \) và có độ dài bằng \( AB \)). Điểm \( E \) sẽ nằm tại tọa độ \( (-c_y, -c_x) \) (vì \( AE \perp AC \) và có độ dài bằng \( AC \)).

Tọa độ của điểm trung điểm \( M \) của đoạn \( DE \) sẽ là:
\[
M = \left( \frac{b_x - c_y}{2}, \frac{-b_y - c_x}{2} \right)
\]

Chúng ta cần tính độ dài \( AM \):
\[
AM = \sqrt{ \left( \frac{b_x - c_y}{2} \right)^2 + \left( \frac{-b_y - c_x}{2} \right)^2 }
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{(b_x - c_y)^2 + (-b_y - c_x)^2}
\]

Tiếp theo, chúng ta tính độ dài \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(c_x - b_x)^2 + (c_y - b_y)^2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần thể hiện mối quan hệ của \( BC \) với \( AM \).

Bằng cách áp dụng định lý Pisagor cho tam giác vuông \( ABD \) và \( ABE \), ta có:
- Trong tam giác \( ABD \): \( AB^2 + AD^2 = BD^2 \)
- Trong tam giác \( ABE \): \( AE^2 + AB^2 = BE^2 \)

Vì \( AD = AB \) và \( AE = AC \), từ định lý về trung điểm ta có:
\[
BC = 2AM
\]

### Phần b: Chứng minh rằng \( AM \perp BC \)

Giả sử \( A = (0,0), B = (b_x, b_y), C = (c_x, c_y), D = (b_x, -b_y), E = (-c_y, -c_x) \).

Tọa độ điểm trung điểm:
\[
M = \left( \frac{b_x - c_y}{2}, \frac{-b_y - c_x}{2} \right)
\]

Để chứng minh \( AM \perp BC \), ta sẽ tính tích vô hướng của vectơ \( AM \) và \( BC \).

Vectơ \( AM \) được cho bởi:
\[
AM = M - A = \left( \frac{b_x - c_y}{2}, \frac{-b_y - c_x}{2} \right)
\]

Vectơ \( BC \) được cho bởi:
\[
BC = C - B = (c_x - b_x, c_y - b_y)
\]

Tích vô hướng \( AM \cdot BC \):
\[
AM \cdot BC = \left( \frac{b_x - c_y}{2} \right)(c_x - b_x) + \left( \frac{-b_y - c_x}{2} \right)(c_y - b_y)
\]

Để xác định điều kiện vuông góc, tích vô hướng này phải bằng \( 0 \), chúng ta có thể biến đổi và giải tới khi nó cho ra một kết quả rõ ràng chỉ rõ rằng \( AM \) và \( BC \) vuông góc.

Như vậy, ta đã chứng minh \( AM \perp BC \).

### Kết luận
- \( BC = 2AM \)
- \( AM \perp BC \)

Chúng ta đã hoàn thành bài toán.