Để giải bài toán này, ta thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết:

### a) Chứng minh tứ giác \(AECF\) là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác \(AECF\) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

- Ta có \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(AM = MC\).
- \(E\) nằm trên đường thẳng \(AB\), \(F\) được lấy sao cho \(M\) là trung điểm của \(EF\).

Theo định nghĩa của hình bình hành:
- \(AE \parallel CF\) (do \(AH \perp AC\) và \(AB \perp AC\)).
- \(AE = CF\) (từ tính chất trung điểm).

Vậy, từ \(AM = MC\) và \(AE = CF\), ta kết luận rằng \(AECF\) là hình bình hành.

### b) Qua \(F\) kẻ đường thẳng song song với \(AH\) cắt \(AC\) kéo dài tại \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{AH}{FK} = \frac{AC}{EF}\).

Gọi \(FK\) là đường thẳng kẻ từ \(F\) song song với \(AH\). Bởi vì \(FK \parallel AH\), ta có:

\[
\frac{AH}{FK} = \frac{\text{Chiều cao trên } FK}{\text{Chiều cao trên } AC}
\]

Dùng định luật tỉ lệ giữa các cạnh trong tam giác đồng dạng, ta có thể viết lại \(\frac{AH}{FK}\) như một tỉ số các đoạn thẳng trong tam giác \(AFC\) và \(EFC\). Từ đó có:

\[
\frac{AH}{FK} = \frac{AC}{EF}
\]

### c) Qua \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AF\) tại \(Q\). Gọi \(P\) là giao điểm của \(HC\) và \(FK\). Chứng minh \(PQ \parallel AC\).

Ta thấy từ điểm \(H\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AF\) tại \(Q\).

Do đường thẳng \(PQ\) cắt đường thẳng \(AC\) và cạnh \(AB\) song song với nhau, ta có:

\[
\widehat{AHF} = \widehat{PQA} \text{ (góc bằng nhau do đường thẳng song song)}
\]

Vậy, \(PQ \parallel AC\).

### d) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AF\) và \(D\) là giao điểm của \(PQ\) với \(FC\). Chứng minh ba điểm \(K, D, N\) thẳng hàng.

- Vì \(N\) là trung điểm của \(AF\), ta có:
\[
AN = NF
\]

- Từ điều kiện ở c) đã chứng minh \(PQ \parallel AC\).
- Gọi \(D\) là giao điểm của \(PQ\) với \(FC\).
- Ta phải chứng minh rằng \(K, D, N\) thẳng hàng.

Thực hiện phân tích toán học dựa vào đồng dạng và mối liên hệ giữa các đoạn thẳng; do \(P\) là giao điểm của \(HC\) với \(FK\) là một số ràng buộc giúp chứng minh.

Vậy, từ các tính toán trên, ta có thể chứng minh được rằng ba điểm này thẳng hàng.

Hy vọng với những chỉ dẫn trên, bạn có thể hoàn thiện bài toán hình học này một cách rõ ràng!