Chúng ta sẽ giải bài toán theo các yêu cầu một cách tuần tự:

### Phần a: Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OA = OF

1. **Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật**:
- Vì HE ⊥ AB và HF ⊥ AC, nên tứ giác AEHF có hai cạnh AE và HF vuông góc bật nhau.
- Hơn nữa, vì H là giao điểm của AH (đường cao) và EF, và EF vuông góc với AH (do HE và HF vuông góc với các cạnh AB, AC), nên HE và HF phân chia AEHF thành những góc vuông.
- Vì vậy, AEHF là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh OA = OF**:
- Trong tứ giác AEHF, AE và HF là hai cạnh đối diện. Bởi vì AEHF là hình chữ nhật, nên OA và OF là khoảng cách từ điểm O tới hai điểm giữa các cạnh AE và HF.
- Do tính đối xứng của hình chữ nhật, OA = OF.

### Phần b1: Chứng minh DB = AK

- Điểm M là trung điểm của DK. Do đó:
\[
MD = MK
\]
- Từ yêu cầu, chúng ta có: M và K cùng nằm trên AM (đường trung tuyến), dẫn đến là trung điểm của cạnh.
- Do đó, DB và AK cũng là hai đoạn thẳng có cùng độ dài vì cả hai đều bắt nguồn từ cùng một góc vuông và đều tương ứng với đoạn trung tuyến (từ H đến BC).
- Kết hợp các yếu tố trên, ta có DB = AK.

### Phần b2: Chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân

1. **Từ H kẻ HI vuông góc với AM**:
- HI vuông góc với AM tạo thành hai góc vuông tại H.
- Kết hợp với điều kiện H là một điểm trên BC có độ dài hoành tương ứng với tứ giác AEHF, có thể chứng minh rằng bốn góc của HIFE đều là các lượng góc đồng tâm và cân bằng.

2. **Chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân**:
- Theo định nghĩa, hình thang cân là có hai cạnh đáy song song và những cạnh bên có độ dài bằng nhau.
- Ta biết rằng AE và HF là các cạnh vuông góc với AB và AC, do đó HI và EF sẽ song song.
- Bởi vì HI kết nối với HA và AE có những độ dài thẳng bằng nhau, HIFE sẽ có định nghĩa đồng nhất với từng yếu tố cân bằng.

Do vậy, tứ giác HIFE là hình thang cân như đã được yêu cầu.