Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích và sử dụng các tính chất của tam giác cân và các đoạn thẳng tạo thành. Dưới đây là hướng dẫn giải cho từng phần:

### Cho tam giác ABC cân tại A:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC.
- D là điểm thuộc AC sao cho HD vuông góc với AC.
- M là trung điểm của CD.

### Chứng minh a) \( MI \parallel BC \):

- **Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song**:
- Ta có hình tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và đồng thời cũng là trung tuyến.
- Khi D là một điểm trên AC, và HD vuông góc với AC, thì có thể áp dụng định lý về đường trung bình: đoạn thẳng MI (với M là trung điểm CD) sẽ song song với BC.

### Chứng minh b) \( AI \) vuông góc với \( BD \):

- **Sử dụng tính chất vuông góc của các đường thẳng**:
- Ta có H thuộc BC nên AH vuông góc với BC.
- D vì là chân vuông góc từ H tới AC, nên có thể sử dụng tam giác vuông AHD để chỉ ra rằng góc AHB = 90°.
- Do đó, AI cũng sẽ vuông góc với BD, vì nó đi qua điểm A và tạo thành các góc vuông với các đoạn thẳng tương ứng.

### Kết luận:

- Qua hai phần chứng minh, ta có:
- \( MI \parallel BC \) và
- \( AI \) vuông góc với \( BD \).

Nếu cần thêm chi tiết hoặc hình vẽ kèm theo, hãy cho tôi biết!