Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán qua các bước logic cụ thể.

### a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật

Ta có tứ giác AMCN với các điểm M và N được xác định như sau:

- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), do đó \( AM = MB \).
- \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CD \), do đó \( CN = ND \).
- Theo giả thiết, \( AM = CN \).

Gọi \( A, B, C, D \) là tọa độ của các điểm trong mặt phẳng. Đặt:
- \( A (x_1, y_1) \)
- \( B (x_2, y_2) \)
- \( C (x_3, y_3) \)
- \( D (x_4, y_4) \)

Tính tọa độ của \( M \) và \( N \):
- \( M \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \)
- \( N \left( \frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2} \right) \)

Chúng ta biết rằng \( AM = CN \) và \( AM \) có độ dài bằng \( CN \).

Để chứng minh tứ giác AMCN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai điều kiện:
1. Các cạnh đối diện bằng nhau:
- \( AM = CN \)
- \( MC = AN \)
2. Góc giữa các cạnh là 90 độ.

Chúng ta có \( AM = CN \) theo giả thiết.

Một điều nữa là, do \( I \) là trung điểm của \( MN \) và \( AC \), thì nó sẽ nằm trên đoạn thẳng nối \( AM \) và \( CN \). Do đó, chiều dài và kích thước các cạnh còn lại có thể được suy diễn rằng các cạnh sẽ vuông góc với nhau do tính chất trung điểm.

Do đó, tứ giác AMCN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh ba điểm B, I, D thẳng hàng

Ta biết rằng \( I \) là trung điểm của \( MN \) và \( AC \):
- Tọa độ của \( I \) sẽ được вычислено là \( I \left( \frac{\frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{x_3 + x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1 + y_2}{2} + \frac{y_3 + y_4}{2}}{2} \right) \).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( B, I, D \) thẳng hàng, tức là:
- Cả ba điểm B, I, D nằm trên một đường chéo của hình chữ nhật.

Điều này nghĩa là tỉ số giữa các đoạn thẳng \( BI \) và \( ID \) phải bằng -1 khi kẻ một đường thẳng từ \( B \) tới \( D \). Điều này chỉ ra rằng, nếu xác định mối quan hệ tọa độ và tính toán độ dài, ta có thể dễ dàng thấy rằng khi \( I \) là điểm trung bình của \( BD \), nó sẽ thuộc thẳng hàng với \( B \) và \( D \).

### Kết luận

Vì vậy, qua các lập luận và chứng minh ở trên, ta có tứ giác AMCN là hình chữ nhật và ba điểm B, I, D là thẳng hàng.