a. Để chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC, chúng ta sẽ chứng minh rằng OA vuông góc với BC và OA chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau.

1. Bởi vì A là điểm ở ngoài đường tròn, nên tiếp tuyến AC và AB sẽ vuông góc với bán kính OB và OC tại các điểm tiếp điểm B và C.
2. Do đó, ta có:
\[
OB \perp AC
\]
\[
OC \perp AB
\]
3. Vẽ đường thẳng OA. Ta sẽ chứng minh OA là đường trung trực của đoạn BC:
- Xét tam giác OAB và OAC, vì OA là một đoạn thẳng nối O với A và OB, OC là hai cạnh của các tam giác này.
- Ta có OA = OA (đoạn giống nhau), OB = OC (các bán kính của đường tròn) và bởi vì OB vuông góc với AC, OC vuông góc với AB (từ tính tiếp tuyến), suy ra:
\[
\angle OAB = \angle OAC
\]
Vậy OA là đường trung trực của đoạn BC.

b. Để chứng minh tứ giác AMON là hình thoi, ta sẽ chứng minh rằng AB = AM, OB = ON và các cặp cạnh đối diện song song.

1. Xét đường thẳng vuông góc với OC tại O, cắt AB tại M và vuông góc với OB tại O, cắt OC tại N.
2. Từ định nghĩa, ta có:
\[
AM \perp OC
\]
\[
AN \perp OB
\]
3. Vì AM và AN đều vuông góc với OA, nên ba điểm A, M, N cùng ở trên mặt phẳng vuông góc với OA. Đồng thời, OM = ON (do tính đối xứng quanh OA) nên:
\[
AM = AN
\]
4. Vậy ta có AM = AN và AM // ON, OB // MN, suy ra tứ giác AMON là hình thoi.

c. Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OB, OC và cung lớn nhất BC có thể tính bằng công thức sau:

- Diện tích của hình quạt tròn được xác định bằng một nửa tích của bán kính với góc giữa hai bán kính.

Góc giữa OB và OC là 90 độ (bởi vì AB vuông góc với OB, OC vuông góc với AC), nên diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, OC và cung BC là:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi R^2}{4}
\]

Kết luận:
- OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
- Tứ giác AMON là hình thoi.
- Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OB, OC và cung lớn nhất BC là \(\frac{\pi R^2}{4}\).