Để giải quyết bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh \(A, B, C, O\) cùng thuộc 1 đường tròn

Ta biết rằng AB và AC là các tiếp tuyến từ điểm A tới đường tròn. Theo định lý tiếp tuyến, ta có:

\[
AB^2 = AO^2 - OB^2
\]

\[
AC^2 = AO^2 - OC^2
\]

Vì \(OB = OC = r\) (r là bán kính của đường tròn), nên:

\[
AB^2 = AO^2 - r^2
\]
\[
AC^2 = AO^2 - r^2
\]

Điều này cho thấy \(AB = AC\), từ đó ta có điểm O và các tiếp điểm B, C nằm trên một đường tròn có tâm là A, bán kính là \(AB = AC\). Do đó, \(A, B, C, O\) cùng thuộc một đường tròn.

### Phần b: Chứng minh \(OA \perp BC\) tại H

Gọi H là giao điểm của BC với đường thẳng OA.

Theo tính chất của tiếp tuyến, các góc tạo thành giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc là góc vuông:

\[
\angle OBA = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle OCA = 90^\circ
\]

Do đó, ta có:

\[
\angle OBC + \angle OCA = 180^\circ
\]

Vì H là giao điểm của đường thẳng OA với BC, tức là:

\[
\angle OAH = 90^\circ
\]

Nên \(OA\) vuông góc với \(BC\) tại H.

### Phần c: Chứng minh \(OD^2 = AH \cdot OA\)

Ta có:

- Theo định lý về cát tuyến, ta biết rằng:

\[
AD^2 = AH \cdot AO
\]

Mặt khác, D là một điểm trên OA, có thể viết lại:

\[
OD^2 = OA^2 - AD^2
\]

Vì \(AD^2 = AH \cdot OA\) nên thay vào ta có:

\[
OD^2 = OA^2 - AH \cdot OA
= OA(OA - AH)
\]

Do đó, ta có \(OD^2 = AH \cdot OA\).

### Phần d: Chứng minh tam giác \(OHB\) đồng dạng với tam giác \(ODA\)

Ta có:

- Trong tam giác \(OAD\) và tam giác \(OHB\), ta sẽ chứng minh rằng:

1. \(\angle OAD = \angle OHB\) (góc đối nhau)
2. \(\angle ODA = \angle OHB\) (góc vuông)

Theo định nghĩa tam giác đồng dạng, ta có:

\[
\frac{OA}{OH} = \frac{AD}{HB} \quad \text{(từ tỉ lệ giữa các cạnh)}
\]

Vậy nên, từ hai yếu tố trên, chúng ta có:

\[
\triangle OHB \sim \triangle ODA
\]

Như vậy ta đã chứng minh cả 4 phần của bài toán.