Để rút gọn biểu thức \( B \), ta sẽ xem xét từng phần trong biểu thức một cách cẩn thận.

Bắt đầu với biểu thức của bạn:

\[
B = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \right) : \left( x + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \right)
\]

Trước tiên, ta sẽ rút gọn phần tử ở bên trái của dấu ":".

1. Tính \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} \):

Để tổng hợp hai phân số này, ta tìm mẫu số chung của chúng:

Mẫu số chung là: \((\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)\).

Ta viết lại hai phân số như sau:

\[
\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + 2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}
\]

Tính tử số:
\[
\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2) + 2(\sqrt{x} + 2) = x - 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 4 = x + 4
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{x + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}
\]

2. Tiếp tục xét phần dưới của dấu ":":

\[
x + \frac{4}{\sqrt{x} + 2}
\]

Để rút gọn phần này, ta có thể viết lại dưới dạng phân số với mẫu số là \(\sqrt{x} + 2\):

\[
x = \frac{x(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x\sqrt{x} + 2x}{\sqrt{x} + 2}
\]

Như vậy, ta nhận được:

\[
x + \frac{4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x\sqrt{x} + 2x + 4}{\sqrt{x} + 2}
\]

Lại thay vào biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{\frac{x + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}}{\frac{x\sqrt{x} + 2x + 4}{\sqrt{x} + 2}} = \frac{x + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{x\sqrt{x} + 2x + 4}
\]

3. Rút gọn biểu thức này:

Ta có

\[
B = \frac{x + 4}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{1}{x\sqrt{x} + 2x + 4}
\]

Khi \( x + 4 \) và \( x\sqrt{x} + 2x + 4 \) không giống nhau, không thể rút gọn thêm nữa.

Vì vậy, biểu thức cuối cùng có thể viết lại thành:

\[
B = \frac{x + 4}{(\sqrt{x} - 2)(x \sqrt{x} + 2x + 4)}
\]

Đây là biểu thức rút gọn cuối cùng.