Để rút gọn biểu thức:

\[
\left( \frac{x - \sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 1}} - \sqrt{x} - 2 \right) \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x - 2}) + 1}{2}
\]

ta làm theo các bước sau:

1. Đặt \( a = \sqrt{x} \), sau đó \( x = a^2 \).

2. Thay vào biểu thức và đơn giản hóa các phần bên trong.

3. Chúng ta có:
- \(\sqrt{x - 2} = \sqrt{a^2 - 2}\)
- \(\sqrt{x - 1} = \sqrt{a^2 - 1}\)

4. Tiến hành tính toán để đơn giản hóa các thành phần.

5. Sau cùng, tìm ra giá trị thuần nhất của biểu thức.

Nếu bạn không cần bước chi tiết từng phần, biểu thức cuối cùng sẽ đơn giản hơn và có thể viết lại ở dạng khác, tùy thuộc vào phép toán bạn thực hiện.

Nhớ kiểm tra các điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \) để đảm bảo tính hợp lệ của các giá trị \( x \).