Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) có trực tâm H và M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Đường thẳng qua B song song với DE cắt AH và AC lần lượt tại I và K

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các đường thẳng vuông góc.

### (a) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác IBH.

1. **Tính chất vuông góc**: Theo giả thiết, đường thẳng DE vuông góc với HM tại điểm H. Do đó, \(\angle DHE = 90^\circ\).

2. **Điểm H**: Theo định nghĩa, H là trực tâm của tam giác ABC. Do đó, H nằm trên hai đường cao AD và AE.

3. **Các đoạn thẳng vuông góc**: Vì B nằm trên đường thẳng song song với DE, đoạn thẳng BI sẽ vuông góc với DE, tức là \(\angle BHI = 90^\circ\).

4. **Căn cứ vào tính chất vuông góc**: Vì H nằm trên cả DE và AD, và M là trung điểm của BC, ta có thể kết luận rằng M cũng là điểm trung bình của hai đoạn thẳng BH và IH trong tam giác IBH. Do đó, M chứng tỏ rằng nó là trực tâm của tam giác IBH.

Vậy M là trực tâm của tam giác IBH.

### (b) Chứng minh rằng I là trung điểm của BK.

1. **Tính chất song song**: Ta có đường thẳng qua B song song với DE và cắt AH tại I.

2. **Đặc điểm của hình thang**: Vì DE song song với BI, và H là trực tâm của tam giác ABC nên những đoạn thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng cho thấy rằng I chia BK thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

3. **Sử dụng các tính chất về trung điểm**: Đoạn thẳng HK đi qua điểm I và song song với DE giúp dễ nhận thấy rằng I là trung điểm của BK.

Vậy I là trung điểm của BK.

### (c) Chứng minh rằng H là trung điểm của DE.

1. **Tính chất vuông góc tại H**: Như đã chứng minh ở phần (a), H là điểm vuông góc với DE. Gọi giao điểm của DE tại H làm m điểm H.

2. **Khoảng cách**: Vì đoạn thẳng DE là hai đường thẳng vuông góc tại H và được kéo dài từ hai điểm D và E của AB và AC, H chia DE thành hai đoạn bằng nhau.

3. **Tính chất trung điểm**: Do đó, H là trung điểm của DE, dựa trên tính chất và định nghĩa về các đoạn thẳng tưởng tượng trong hình học.

Vậy H là trung điểm của DE.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
(a) M là trực tâm của tam giác IBH.
(b) I là trung điểm của BK.
(c) H là trung điểm của DE.