Để đánh giá các mệnh đề về hàm số \( f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x - 2 \), ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.

**Mệnh đề a)** \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 \).

Tính giá trị hàm số \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \):
\[
f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sqrt{3} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2 = 1 - \sqrt{3} \cdot 0 - 2 = 1 - 2 = -1
\]
Mệnh đề a) đúng.

**Mệnh đề b)** Đạo hàm của hàm số đã cho là \( f'(x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x \).

Tính đạo hàm:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) - \sqrt{3} \frac{d}{dx}(\cos x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x
\]
Mệnh đề b) sai.

**Mệnh đề c)** Nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0, \pi]\) là \( \frac{5\pi}{6} \).

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[
\cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 \implies \tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x = \frac{5\pi}{6} \quad (\text{trên đoạn } [0, \pi])
\]
Mệnh đề c) đúng.

**Mệnh đề d)** Giá trị lớn nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0, \pi]\) là \( \sqrt{3} - 2 \).

Xét hàm số \( f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x - 2 \).
- Tính giá trị ở các điểm biên:
\[
f(0) = \sin(0) - \sqrt{3} \cos(0) - 2 = 0 - \sqrt{3} - 2 = -\sqrt{3} - 2
\]
\[
f(\pi) = \sin(\pi) - \sqrt{3} \cos(\pi) - 2 = 0 + \sqrt{3} - 2 = \sqrt{3} - 2
\]
- Tính giá trị tại nghiệm của \( f'(x) = 0 \) (tức là \( x = \frac{5\pi}{6} \)):
\[
f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sqrt{3} \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) - 2
\]
\[
= \frac{1}{2} - \sqrt{3} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 2 - 2 = 0
\]
So ở các điểm:
- \( f(0) = -\sqrt{3} - 2 \)
- \( f(\pi) = \sqrt{3} - 2 \)
- \( f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 0 \)

Giá trị lớn nhất là \( \sqrt{3} - 2 \).

Mệnh đề d) đúng.

Tóm tắt:
- Mệnh đề a) đúng.
- Mệnh đề b) sai.
- Mệnh đề c) đúng.
- Mệnh đề d) đúng.