Để tìm kích thước tối ưu cho miếng đất hình chữ nhật có chu vi 400 mét và nhằm tối đa hóa diện tích, chúng ta hãy gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( l \) và chiều rộng là \( w \).

Theo định nghĩa, chu vi \( P \) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
P = 2(l + w)
\]
Với thông số đã cho, ta có:
\[
2(l + w) = 400
\]
Suy ra:
\[
l + w = 200
\]
Từ đó, có thể biểu diễn \( w \) như sau:
\[
w = 200 - l
\]

Diện tích \( A \) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
A = l \cdot w
\]
Thay \( w \) vào phương trình này, ta có:
\[
A = l \cdot (200 - l) = 200l - l^2
\]

Diện tích \( A \) là một hàm bậc hai của \( l \) với hệ số trước \( l^2 \) âm, do đó nó có hình dạng một parabol và có đỉnh ở \( l \) lớn nhất.

Để tìm tọa độ đỉnh của parabol \( A = -l^2 + 200l \), ta có thể sử dụng công thức:
\[
l = -\frac{b}{2a}
\]
Với \( a = -1 \) và \( b = 200 \):
\[
l = -\frac{200}{2 \cdot (-1)} = 100
\]

Khi \( l = 100 \), ta có thể tính \( w \):
\[
w = 200 - l = 200 - 100 = 100
\]

Do đó, chiều dài và chiều rộng tối ưu của miếng đất hình chữ nhật để có diện tích lớn nhất đều bằng nhau, cả hai đều là 100 mét.

**Kết luận:** Thầy Nam nên chọn cả chiều dài và chiều rộng của miếng đất là 100 mét để diện tích đất dùng để xây nhà là lớn nhất.