Để giải bài toán này, trước tiên ta cần xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đều \( ABC \) với cạnh bằng \( 2 \) và trọng tâm \( G \).

1. **Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đều**:

Ta có thể đặt:
- Điểm \( A (0, 0) \)
- Điểm \( B (2, 0) \)
- Điểm \( C (1, \sqrt{3}) \)

2. **Tính tọa độ trọng tâm \( G \)**:

Trọng tâm \( G \) của tam giác có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh:
\[
G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = G\left(\frac{0 + 2 + 1}{3}, \frac{0 + 0 + \sqrt{3}}{3}\right) = G\left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
\]

3. **Tính tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn \( AG \)**:

Tọa độ điểm \( A \) là \( (0, 0) \) và tọa độ điểm \( G \) là \( \left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \):
\[
I\left(\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{2}\right) = I\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)
\]

4. **Tính độ dài của vectơ \( BI \)**:

Tọa độ điểm \( B \) là \( (2, 0) \) và tọa độ điểm \( I \) là \( \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right) \). Tính độ dài của vectơ \( BI \):
\[
BI = I - B = \left(\frac{1}{2} - 2, \frac{\sqrt{3}}{6} - 0\right) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}\right)
\]

Độ dài của vectơ \( BI \) được tính bằng công thức:
\[
|BI| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{36}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{12}}
\]
Đưa tất cả về mẫu số chung:
\[
\frac{9}{4} = \frac{27}{12}
\]
Vậy:
\[
|BI| = \sqrt{\frac{27}{12} + \frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{28}{12}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}
\]

Cuối cùng, độ dài của vectơ \( BI \) là:
\[
\boxed{\frac{\sqrt{21}}{3}}
\]