Để tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overline{MB}\) và \(\overline{MC}\) khi có điều kiện \(MB = 3MC\), ta có thể sử dụng quy tắc tỉ lệ giữa các vectơ.

1. **Gọi các đỉnh của tam giác**:
- \(B\) có tọa độ \(\mathbf{b}\)
- \(C\) có tọa độ \(\mathbf{c}\)
- Điểm \(M\) nằm trên segment \(BC\), do đó có thể biểu diễn tọa độ của \(M\) theo \(B\) và \(C\).

2. **Mối liên hệ giữa \(MB\) và \(MC\)**:
- Theo điều kiện \(MB = 3MC\), ta có:
\[
MB = 3 \cdot MC
\]
- Nếu \(x\) là độ dài của \(MC\), thì \(MB = 3x\).
- Tổng độ dài \(BC\) sẽ là \(MB + MC = 3x + x = 4x\).
- Từ đó, ta có thể tính phần trăm của các đoạn:
\[
\frac{MC}{BC} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}, \quad \frac{MB}{BC} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}
\]
- Điều này có nghĩa là:
\[
M \text{ chia } BC \text{ theo tỉ lệ } 3:1
\]

3. **Phân tích vectơ**:
- Đặt \(\overline{MB} = \mathbf{b} - \mathbf{m}\) và \(\overline{MC} = \mathbf{c} - \mathbf{m}\).
- Từ đó ta có liên hệ:
\[
\overline{MB} = 3 \overline{MC}
\]

4. **Biểu diễn vectơ \(\overline{AM}\)**:
- Gọi \(A\) có tọa độ \(\mathbf{a}\). Vectơ \(\overline{AM}\) có thể viết như sau:
\[
\overline{AM} = \mathbf{m} - \mathbf{a}
\]
- Dựa vào tỉ lệ 3:1, ta có thể biểu diễn \(\overline{AM}\) theo các vectơ \(\overline{AB}\) và \(\overline{AC}\):
- Gọi \(\mathbf{m} = \frac{1}{4}\mathbf{b} + \frac{3}{4}\mathbf{c}\):
\[
\overline{AM} = \left( \frac{1}{4}\mathbf{b} + \frac{3}{4}\mathbf{c} \right) - \mathbf{a}
\]
- Biểu diễn \(\overline{AB}\) và \(\overline{AC}\):
\[
\overline{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}, \quad \overline{AC} = \mathbf{c} - \mathbf{a}
\]

5. **Kết quả**:
- Ta có thể kết hợp và biểu diễn vectơ \(\overline{AM}\) theo \(\overline{AB}\) và \(\overline{AC}\):
\[
\overline{AM} = \frac{1}{4}(\overline{AB} + \mathbf{a} - \mathbf{b}) + \frac{3}{4}(\overline{AC} + \mathbf{a} - \mathbf{c})
\]
- Cuối cùng, sẽ ra được mối liên hệ đầy đủ cho vectơ \(\overline{AM}\).

Vậy mối liên hệ giữa các vectơ sẽ là:
- \( \overline{MB} = 3 \overline{MC} \)
- Biểu diễn \(\overline{AM}\) sẽ phụ thuộc vào các vectơ \(\overline{AB}\) và \(\overline{AC}\) như trình bày ở trên.