Để chứng minh rằng \( BC = BD \) trong hình vẽ trong bài toán, chúng ta có thể sử dụng định lý về dây cung trong hình tròn.

1. **Giả sử**: Cho hai đường tròn \( O \) và \( O' \) có cùng bán kính \( R \), và chúng cắt nhau tại các điểm \( A \) và \( B \) sao cho \( O \) và \( O' \) nằm ở hai bên đường thẳng \( AB \).

2. **Thiết lập hình**: Kẻ các dây cung \( AC \) và \( A'D \) (với \( C \) thuộc đường tròn \( O \) và \( D \) thuộc đường tròn \( O' \)).

3. **Xét các tam giác**:
- Trong tam giác \( AOB \) và \( A'O'B \): Do \( OA = OA' = R \) và \( OB = OB' = R \), ta có các tam giác này đồng dạng.
- Từ sự đồng dạng của các tam giác này, chúng ta có \( BC = BD \).

4. **Kết luận**: Do đó, từ hình vẽ và tính chất của các dây cung trong hình tròn, ta có thể kết luận rằng \( BC = BD \).

Hình dạng của tứ giác \( AOBD \) sẽ là hình thang, vì hai đường thẳng \( AB \) và \( O'O \) song song.

Vậy, đã chứng minh được \( BC = BD \).