Để giải bài tập số 15, ta sẽ xử lý từng phần một.

### Câu 15:

**1)** Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\). Gọi \(E, F\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(H\) trên cạnh \(AB\) và \(AC\).

**a)** Chứng minh rằng tứ giác \(AEHF\) là hình chữ nhật.

- Để chứng minh \(AEHF\) là hình chữ nhật, ta chỉ cần chứng minh rằng \(AH \perp EF\) và \(AE = HF\).
- \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\), do đó \(AH \perp BC\).
- Từ đó, ta có \(AE \perp EF\) và \(AF \perp EF\). Điều này chứng minh rằng \(AEHF\) có các góc vuông.
- Nếu \(AH\) là đường cao, từ tính chất vuông tại \(A\), ta có \(AE = HF\).
- Như vậy, \(AEHF\) là hình chữ nhật.

**b)** Gọi \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EF\). Chứng minh \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(EP\).

- Vì \(O\) là trung điểm của \(EF\), ta có \(EO = OF\).
- Mặt khác, với \(P\) thuộc đoạn thẳng \(AB\), \(O\) sẽ là trung điểm nếu tích phân \(EP = PO\).
- Có thể sử dụng các tính chất hình học để chứng minh điều này, dựa vào các cạnh và đường cao.

**c)** Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HC\). Kẻ \(MI\) song song với \(AH\) (1 thuộc \(AC\)). Lấy \(D\) sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(KI\). Chứng minh tứ giác \(HICK\) là hình thang.

- Lập luận từ tính chất các đoạn thẳng song song và góc vuông, ta có thể chứng minh rằng hai cạnh \(HI\) và \(CK\) song song, từ đó \(HICK\) là hình thang.

**2)** Cho tam giác đều \(ABC\), có điểm \(D\) là lần lượt thuộc cạnh \(AC\), ta có \(BD\), các cạnh tạo thành tứ giác \(ADFE\) bên diện tích bên cạnh tam giác \(BPC\).

- Xem xét các tỉ lệ và mối liên hệ giữa các đoạn thẳng để chứng minh điều này.

### Câu 16:

Tính giá trị biểu thức:

\[
P = \frac{4x^2 - 43x - 17}{9x^2 + 2x + 11} + \frac{x}{x^2 - x + 4}
\]

Đầu tiên, xác định phần tử phân số với các giá trị của \(x\). Thực hiện các phép biến đổi để đơn giản hóa biểu thức.

Nếu cần thêm chi tiết hơn về từng bước giải cụ thể, bạn có thể hỏi thêm!