a) Để chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật và tứ giác BMND là hình bình hành, ta sẽ xem xét các tính chất của các đường thẳng và các góc trong hệ tọa độ đã cho.

1. Đầu tiên, vì BN là đường trung tuyến, nên \(AN = \frac{1}{2}BC\).
2. Đường thẳng MN là đường thẳng qua N và song song với BC, do đó, các góc \(AMN\) và \(ABN\) bằng nhau (góc đồng vị).
3. Vì ΔABC vuông tại A (góc CAB = 90 độ), nên BMN cũng là một góc vuông. Do đó, \(AM \perp MN\).
4. Júp hình vuông AMND, ta có \(AM = DN\) và các góc \(AMN = AMB = 90^\circ\) (vì MN song song với BC).
5. Tương tự, do MN song song với BC, và AMN vuông tại A, nên AMND có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau, cùng với góc vuông tại A.

==> Từ đó ta kết luận rằng tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

6. Để chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành, ta có các góc BMN và BDN đối diện bằng nhau, cùng với việc \(MD \parallel BN\) và \(BM = DN\) sẽ chứng minh rằng BMND là hình bình hành.

b) Để chứng minh \(BE \cdot MN = DN \cdot EN\):
1. Theo định lý tia phân giác, tia BE phân chia góc BMN thành hai góc, mà theo tính chất phân giác thì:
\[
\frac{BE}{EN} = \frac{BM}{DN}
\]
2. Do đó, nhân chéo sẽ cho:
\[
BE \cdot DN = EN \cdot BM
\]
3. Từ đó, thay thế \(BM\) bằng MN (vì MN là song song với một trong các cạnh) sẽ dẫn đến:
\[
BE \cdot MN = DN \cdot EN
\]

c) Chứng minh rằng \( \frac{EB}{EN} = \frac{FD}{FM} \) và \( EF \parallel GD \):

1. Ta có góc MND tạo thành một hình chóp với các tia phân giác cắt tại điểm F. Sử dụng định lý tia phân giác đối với các góc, ta có:
\[
\frac{EF}{GD} = \frac{FD}{FM}
\]

2. Cùng với việc EF và GD đều song song do tính chất phân giác mà đi qua vị trí N và các góc tạo thành tại điểm cắt, ta sẽ có \( EF \parallel GD\).

Chúng ta đã chứng minh tất cả các yêu cầu trong ba phần a, b, và c.