Để giải phương trình \(x^2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0\) khi \(m = -1\), chúng ta thay giá trị \(m\) vào phương trình.

Thay \(m = -1\) vào phương trình:

\[
x^2 - 2(-1 - 1)x + (-1) + 1 = 0
\]

Tính toán:

\[
x^2 - 2(-2)x + 0 = 0
\]
\[
x^2 + 4x = 0
\]

Chúng ta có thể đưa phương trình về dạng nhân:

\[
x(x + 4) = 0
\]

Giải phương trình này:

1. \(x = 0\)
2. \(x + 4 = 0 \rightarrow x = -4\)

Vậy hai nghiệm của phương trình là \(x_1 = 0\) và \(x_2 = -4\).

### Phần b:

Để tìm giá trị của \(m\) sao cho phương trình \(x^2 - 2(m - 1)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\) thỏa mãn:

\[
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = 4
\]

Lưu ý rằng \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}\), do đó:

\[
\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = 4 \implies x_1^2 + x_2^2 = 4x_1x_2
\]

Chúng ta biết rằng:

- \(x_1 + x_2 = 2(m - 1)\)
- \(x_1 x_2 = m + 1\)

Từ đó, tính \(x_1^2 + x_2^2\) bằng công thức:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]

Thay vào, ta có:

\[
x_1^2 + x_2^2 = [2(m - 1)]^2 - 2(m + 1)
\]
\[
= 4(m - 1)^2 - 2(m + 1)
\]

Thay vào điều kiện:

\[
4(m - 1)^2 - 2(m + 1) = 4(m + 1)
\]

Giải phương trình này:

\[
4(m - 1)^2 - 2m - 2 = 4m + 4
\]
\[
4(m - 1)^2 - 6m - 6 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2, ta có:

\[
4[m^2 - 2m + 1] - 6m - 6 = 0
\]
\[
4m^2 - 8m + 4 - 6m - 6 = 0
\]
\[
4m^2 - 14m - 2 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4}
\]
\[
= \frac{14 \pm \sqrt{196 + 32}}{8} = \frac{14 \pm \sqrt{228}}{8} = \frac{14 \pm 2\sqrt{57}}{8} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4}
\]

Vậy có hai giá trị của \(m\):

\[
m_1 = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, \quad m_2 = \frac{7 - \sqrt{57}}{4}
\]