Cho nửa đường tròn O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn, từ M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax, By lần lượt tại C, D

Để chứng minh các tính chất của tam giác và tính toán độ dài các đoạn thẳng trong bài toán, chúng ta sẽ làm từng phần như sau:

### a) Chứng minh tam giác OCD vuông

**Chứng minh:**

Xét nửa đường tròn O với đường kính AB. Theo định nghĩa, từ điểm M trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 sẽ tạo ra hai tiếp tuyến Ax và By.

Theo tính chất của tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn, ta có:

- AO ⊥ Ax
- BO ⊥ By

Vậy O là trung điểm của đường kính AB, và nó cách đều các điểm A và B. Khi kéo dài các tiếp tuyến Ax và By, ta sẽ thấy rằng tam giác OCD có đường cao từ O hạ xuống cạnh CD. Do đó, nó làm cho tam giác OCD là tam giác vuông tại O.

### b) Chứng minh AC . BD = OM²

**Chứng minh:**

Theo định lý về tiếp tuyến, từ điểm M đến đường tròn có 3 tiếp tuyến, AC, BD và đường nối OM. Ta có:

\[ AC \cdot BD = OM^2 \]

Đến đây, nếu kẻ OM, ta thấy rằng nếu ta xem OM như là độ dài từ điểm M đến đường kính (vì các đường tiếp tuyến sẽ cắt nhau tại M) thì theo định lý tiếp tuyến - đoạn thẳng, ta có:

\[ AC = \sqrt{OM^2} \quad \text{và}\quad BD = \sqrt{OM^2} \]

Do đó, khi nhân hai cạnh AC và BD, ta có:

\[ AC \cdot BD = OM^2 \]

### c) Cho OC = BA = 12cm. Tính AC và BD

**Tính toán:**

Ta có OC = 12 cm và BA = 12 cm.

1. Tính OA và OB:
\[
OA = OB = \frac{BA}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}
\]

2. Giải hình học:
Ta có tam giác OMC vuông tại O, trong đó OC = 12 cm, OA = 6 cm. Sử dụng định lý Pythagore để tìm OM:
\[
OM^2 = OC^2 - OA^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108
\]
\[
OM = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
\]

3. Áp dụng công thức vào việc tính toán AC và BD:
Theo cách tính ở phần b), ta có:
\[
AC \cdot BD = OM^2 = 108
\]

Nếu AC = BD (do đối xứng), thì:
\[
AC^2 = 108 \Rightarrow AC = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
\]

Vậy,
\[
AC = BD = 6\sqrt{3} \text{ cm}
\]

**Kết quả:**
- AC = BD ≈ 10.39 cm (tính số thực cho AC và BD).

Như vậy, chúng ta tìm được các đoạn AC và BD trong bài toán.