Xét 2 tam giác IAB và ACB
góc B chung
góc A= góc I
=> 2 tam giác IAB và IAC đồng dạng (g.g)
=> góc B = góc IAB
=> IB=IA
Mà IB = IC 
=> IA=IB=IC

∆ABC có Â = 90°. I là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho ID = IA
Xét ∆AIC và ∆BID:
              BI = CI (gt)
             ˆAMC = ˆBMD (đối đỉnh)
              IA = ID  (theo cách vẽ)
Do đó: ∆AIC = ∆BID (c.c.c)
⇒ˆIAC = ˆD
=> BD // AC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Mà AC⊥AB (gt)
=> BD⊥AB hay ˆABD = 90°
Xét ∆ABC và ∆BAD:
                ˆBAC=ˆABD=90°
                AB cạnh chung
                BD = AC (Vì ∆AIC = ∆IBD)
=> ∆ABC = ∆BAD (c.g.c)
=> AD = BC
Mà AI = ID = 1/2AD
      IB = IC = 1/2BC
​⇒ IA = IB = IC => đpcm

Xét Δ IAB vàΔ ACB có
góc B chung
góc A= góc I
=>Δ IAB∽ Δ IAC (g.g)
=> góc B = góc IAB
=> IB=IA
Mà IB = IC 
=> IA=IB=IC