a) Xét hai tam giác vuông ΔBEF và ΔBAC có:

BF=BC (do ΔBFC cân đỉnh B)

ˆB chung

⇒ΔBEF=ΔBAC (cạnh huyền-góc nhọn).

b) ΔBEF=ΔBAC⇒ˆBFE=ˆBCA(hai tương ứng)

Mà ΔBFC cân đỉnh B nên: ^BFC=^BCF

^BFC−^BFE=^BCF−^BCA

⇒^EFC=^ACF hay ^DFC=^DCF⇒ΔDFC cân đỉnh D
⇒DF=DC

Xét ΔBFD và ΔBCD có:

BF=BC (giả thiết)

BD chung

DF=DC (cmt)

⇒ΔBFD=ΔBCD (c.c.c)

⇒^FBD=^CBD (hai góc tương ứng)

⇒BD là phân giác ^FBC.

c) ΔBEF=ΔBAC⇒BE=BA

⇒BF−BA=BC−BE hay AF=EC

Xét ΔAFM và ΔECM có:

FM=CM (do M là trung điểm cạnh FC)

^AFM=^ECM (giả thiết)

AF=EC (cmt)

⇒ΔAFM=ΔECM (c.g.c)

⇒MA=ME lại có BA=BE⇒MB là trung trực của AE

⇒MB⊥AE.