a) gọi giao điểm của AE và CK là H

xét 2 tam giác vuông AKE và ACE có:

AE(chung)

KAE=CAE(gt)

=> ΔAKE=ΔACE(CH-GN)

=> AC=AK

b)xét ΔAKH và ΔACH có:

AC=AK(theo câu a)

AH(chung)

KAH=CAH(gt)

=> ΔAKH=ΔACH(c.g.c)

=>{HK=HCAHK=AHC{HK=HCAHK=AHC

mà AHK+AHC=180o180o

=> AHK=AHC=180o:2=90o180o:2=90o

ta có: AE_|_CK và HK=HC

=> AE là đường trung trực của CK

c)

ΔABC vuông tại C có góc A=60o60o => góc B=30o30o

=>AC=1/2 AB

=>AK=1/2AB

ta có: BK=AB-AK=AB-1/2AB=1/2AB

=> AK=BK

d)ΔABC vuông tại C  có A=60o60o

=> AC=AK=BK=1/2AB(theo câu c)

ta có Δ AKE vuông tại K=> BK<BE

=> AC<BE(đfcm)

Vì ˆA+ˆB+ˆC=180oMà ˆA=60o;ˆC=90o
⇒ˆB=180o−(ˆA+ˆC)

⇒ˆB=30o⇒B^=30o (1)

Vì AE là đường phân giác của góc BAC Mà ˆBAC=60

⇒ˆEAB=ˆCAE=12ˆBAC=30o(2)

Từ (1) và (2) ta có:

ˆB=ˆEAB=30o

Do đó ΔEAB cân tại E. Mà có EK là đường cao do đó EK cũng là đường trung tuyến của ΔEAB

⇒KA=KB