a) Ta có:

MH⊥AB(gt)⇒∠MHA=900MK⊥AC(gt)⇒∠MKA=900}⇒∠MHA+∠MKA=900+900=1800MH⊥AB(gt)⇒∠MHA=900MK⊥AC(gt)⇒∠MKA=900}⇒∠MHA+∠MKA=900+900=1800.

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AHMKAHMK nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800).

b) Dễ thấy tứ giác ABMCABMC nội tiếp ⇒∠HBM=∠MCA⇒∠HBM=∠MCA (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong đỉnh đối diện)

Xét ΔHBMΔHBM và ΔKCMΔKCM có:

∠MHB=∠MKC(=900)∠HBM=∠MCA(cmt)}⇒ΔHBM∼ΔKCM(g.g)∠MHB=∠MKC(=900)∠HBM=∠MCA(cmt)}⇒ΔHBM∼ΔKCM(g.g)

⇒HMKM=BMCM⇒HMKM=BMCM (cạnh tưng ứng) ⇒MH.MC=MB.MK⇒MH.MC=MB.MK (đpcm).

c) Nối DD với HH, DD với KK.

Xét tứ giác BHMDBHMD có ∠BHM+∠BDM=900+900=1800∠BHM+∠BDM=900+900=1800.

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên BHDMBHDM là tứ giác nội tiếp

⇒∠BDH=∠BMH⇒∠BDH=∠BMH (cùng chắn cung BHBH) (1)

Xét tứ giác CKDMCKDM có ∠MDC=∠MKC=900∠MDC=∠MKC=900 nên tứ giác CKDMCKDM nội tiếp (hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh các góc bằng nhau)

⇒∠KDC=∠KMC⇒∠KDC=∠KMC (cùng chắn cung KCKC) (2)

Mà ΔHBM∼ΔKCM(cmt)⇒∠BMH=∠KMCΔHBM∼ΔKCM(cmt)⇒∠BMH=∠KMC (góc tương ứng) (3)

Từ (1)(1), (2)(2) và (3)(3) suy ra ∠BDH=∠KDC∠BDH=∠KDC suy ra H,D,KH,D,K thẳng hàng hay DH+DK=HKDH+DK=HK.

Ta có: ∠MHD=∠MBD∠MHD=∠MBD (cùng chắn cung MDMD) ⇒∠MHK=∠MBC⇒∠MHK=∠MBC

∠MKD=∠MCD∠MKD=∠MCD (cùng chắn cung MDMD) ⇒∠MKH=∠MCB⇒∠MKH=∠MCB

Xét ΔMHKΔMHK và ΔMBCΔMBC có:

∠MHK=∠MBC(cmt)∠MKH=∠MCB(cmt)}⇒ΔMHK∼ΔMBC(g.g)∠MHK=∠MBC(cmt)∠MKH=∠MCB(cmt)}⇒ΔMHK∼ΔMBC(g.g)

⇒MHMB=MKMC=HKBC⇒MHMB=MKMC=HKBC (cạnh tương tứng)

Mà MH≤MB,MK≤MC⇒MHMB=MKMC≤1MH≤MB,MK≤MC⇒MHMB=MKMC≤1 ⇒HKBC≤1⇒HK≤BC⇒HKBC≤1⇒HK≤BC cố định.

Dấu “=” xảy ra khi MH=MB,MK=MCMH=MB,MK=MC hay H≡B,K≡CH≡B,K≡C hay AB⊥BM,AC⊥CMAB⊥BM,AC⊥CM

⇒∠ABM=∠ACM=900⇒∠ABM=∠ACM=900 hay A,B,C,MA,B,C,M nằm trên đường tròn đường kính AMAM.

Kẻ đường kính AEAE của đường tròn tâm (O)(O) thì M≡EM≡E.

Vậy max(DH+DK)=BCmax(DH+DK)=BC khi M≡EM≡E.