Dựa vào khái niệm về hình thoi, ta có:

∆ABC = ∆ADC (c .c. c) => Góc B =  Góc D

∆ABD = ∆CBD (c .c .c) => Góc A =  Góc C
3)
Xét ∆AOB và ∆COB có:

Chung cạnh OB
OA = OC (O là trung điểm AC, do ABCD cũng là một hình bình hành)
BA = BC (Hinh thoi có 4 cạnh bằng nhau)

Suy ra ∆AOB = ∆COB (c. c. c)

=> Góc ABO = Góc CBO => BO hay BD là đường phân giác của Góc ABC và Góc ADC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: AC là đường phân giác của Góc BAD và Góc BCD
2)

Xét ∆BAD cân tại A có AO là đường phân giác ứng với góc Â

=> AO đồng thời cũng là đường cao ứng với BD

=> AO ⊥ BD

=> Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
4) 
 

Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.

Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên OA = OC và OB = OD.

Xét ΔBMO và ΔDPO có:

Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)

=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)

=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)

Chứng minh tương tự: và N, O, P thẳng hàng (7)

Từ (6) và (7) Suy ra: Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)

Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên OM ⊥ ON. (9)

Từ (8) và (9) suy ra: MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)