Câu 1: Cho 2 số x;y thoả mãn x + y = 2008. Tìm giá trị lớn nhất của tích x.y
Câu 2: Gọi M là 1 điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Tìm vị trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất?
Câu 3: Cho a, b là các số tự nhiên thoả mãn ƯCLN (a,b) = 1.Tìm giá trị lớn nhất của ƯCLN (a+10b,b+10a).
Câu 4: Cho ΔABC vuông cân tại A, có AB = 5cm. Qua A kẻ đường thẳng xy bất kì không cắt đoạn thẳng BC. Gọi H, K thứ tự là hình chiếu của B, C trên dường thẳng xy.
a) Chứng minh: ΔABH = ΔCAK
b) Chứng minh: AH x AH + AK x AK có giá trị không đổi khi đường thẳng xy thay đổi
c) Gọi I là trung điểm của BC, trên đoạn IB lấy M và trên đoạn IC lấy N sao cho IM = IN. Kẻ BP ⊥ AN, CQ ⊥ AM (P ∈ AN, Q ∈ AM).
Chứng minh AI, BP, CQ đồng quy.
Câu 5: Chứng minh số A = 20^8^2014 + 113 là hợp số.
Câu 6: Tìm các số dương a, b, c để tổng sau có giá trị là số nguyên:
M = (a/a+b) + (b/b+c) + (c/c+a).
Câu 7: Cho ΔABC (AB không bằng AC). Tia phân giác Ax của góc A cắt BC tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở F và đường thẳng song song với AC cắt AB tại E.
a) Chứng minh các tam giác EAD, FAD là các tam giác cân.
b) Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với Ax cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh È song song với PQ.
c) Chứng minh BP = CQ.