Bài 3: Phép vi tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều

Bài 14 (trang 20 sgk Hình Học 12 nâng cao): Chứng minh rằng:

a) Tâm các mặt của khối lập Phương cho trước là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

b) Tám các mặt của một khối tám mặt đều cho trước là các đỉnh của khối lập Phương.

Lời giải:

a) Xét khối lập Phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. gọi O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆ lần lượt là tâm của các mặt phẳng ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’, BCC’B’, CĐ’C’, DAA’D.

Ta có: O₁ là trung điểm của BD, O₃ là trung điểm của A’B’ nên:

Tương tự: O₁ O₄=O₁ O₅=O₁ O₆=O₃ O₄=O₄ O₅=O₅ O₆=O₁ O₆=O₃O₄=O₄ O₅=O₅ O₆=O₆ O₃=O₂ O₃=O₂ O₄=O₂ O₅=O₂ O₆=(a√2)/2

Vậy O₁,O₂,O₃,O₄,O_5,O_6 lần lượt là các đỉnh của một khối lập Phương.

b) Xét khối 8 mặt đều ABCDEF. Gọi O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆, O₇, O₈ lần lượt là trọng tâm của các mặt EAB, EBC, ECD, EDA, FAB, FBC, FCD, FDA.

- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

ta có: O₁,O₂ là trọng tâm ΔEAB, EBC nên:

=> O₁ O₂ // MN

=> O₁ O₂ // O₃ O₄ và O₁ O₂ // O_3 O₄

=> Tứ giác O₁ O_{2 3} O₄ là hình bình hành.

Lại có: O₁ O₄ // BD, O₁ O₄=BD/3 kết hợp (*) và lưu ý rằng.

AC = DB, AC ⊥ BD => O₁ O₂=O₁ O_4, O₁ O₃ ⊥ O₁ O₄ nên tứ giác O₁ O₂ O₃ O₄ là hình vuông.

- Hoàn toàn tương ứng ta có: O₁ O₂ O₆ O₅,O₂ O₃ O₇ O₆,O₃ O₄,O₈ O₇,O₄ O₁ O₅ O₈,O₅ O₆ O₇ O₈ là các hình vuông.

Vậy O₁, O₂,O₃,O₄,O₅,O₆, O₇, O₈ là các đỉnh của một khối lập Phương.