Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Bài 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 26 (trang 121 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận các bất phương trình :

a) m(x – m) ≤ x – 1 ;

b) mx + 6 > 2x + 3m

c) (x + 1)k + x < 3x + 4

d) (a + 1)x + a + 3 ≥ 4x + 1

Lời giải:

a) m(x – m) ≤ x – 1 (1) . ĐKXĐ : ∀ x ∈ R

(1) ⇔ mx – m² ≤ x – 1 ⇔ (m – 1)x ≤ m² – 1

- Nếu m – 1 > 0 ⇔ m > 1 thì x ≤ m + 1

- Nếu m – 1 < 0 ⇔ m < 1 thì x ≥ m + 1

- Nếu m = 1 thì bất phương trình có tập nghiệm là R

Kết luận. Gọi T1 là tập nghiệm của (1) khi đó :

m > 1, ta có : T₁ = (- ∞; m + 1]

m < 1 , ta có : T₁ = [m + 1; + ∞ );

m = 1, ta có : T₁ = R

b) mx + 6 > 2x + 3m (2). ĐKXĐ : ∀ x ∈ R

(2) ⇔ (m -2)x > 3(m – 2)

- Nếu m – 2 > 0 ⇔ m < 2 thì (2) ⇔ x > 3

- Nếu m – 2 < 0 ⇔ m < 2 thì (2) ⇔ x < 3

- Nếu m = 2 thì (2) vô nghiệm

Kết luận. Gọi T₂ là tập nghiệm của (2). Khi đó :

m > 2, ta có : T₂ = (3; + ∞ )

m < 2 , ta có : T₂ = ( - ∞ ; 3)

m = 2 , ta có : T₂ = Ө

c) (x + 1)k + x < 3x + 4.

Nếu k = 2 thì T₃ = R (T₃ là tập nghiệm của bất phương trình ở câu c))

Nếu k > 2 thì T₃ = (- ∞ ; (4 – k)/(k – 2))

Nếu k < 2 thì T₃ = ((4 – k)/(k – 2); + ∞ )

d) (a + 1)x + a + 3 ≥ 4x + 1

Gọi T4 là tập nghiệm của bất phương trình : (a + 1)x + a + 3 ≥ 4x + 1, ta có kết quả :

- a = 3, T₄ = R

- a > 3 , T₄ = [(2 + a)/(3 – a) ; + ∞ )

- a < 3 , T₄ = (- ∞ ; (2 + a)/(3 – a)].