Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình

Bài 5: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 44 (trang 133 sgk Đại Số 10 nâng cao): Một gia đình cần ít nhất 900 g chất protein và 400 g chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa 80% protein và 20% lipit. Thịt lợn chứa 60% protein và 40% lipit. Biết rằng khi gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1600g thịt bò, 1100 g thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 45000đ, 1kg thịt lợn lầ 35000đ. Giả sử gia đình mua x kg thịt bò và y kg thịt lợn.

a) Viết các phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi biểu diễn hình học miền nghiệm (S) của hệ đó.

b) Goi T (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x (kilogam) thịt bò và y (kilogam) thịt lợn. hãy biểu diễn T theo x, y

c) ở câu a) ta thấy (S) là một miền đa giác lồi. biết rằng T có giá trị nhỏ nhất tại (x_0;y_0) với (x_0;y_0) là tọa độ trong các đỉnh của (S). hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kilogam thịt mỗi loại để chi phí ít nhất.

Lời giải:

a) giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn.

theo giả thiết, x và y cần thỏa mã điều kiện:

0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1

Khi đó lượng protein có được là 80%x + 60% y và lượng lipit có được là 20%x + 40% y. vì gia đình đó cần ít nhất 0,9 kg hay (900 g) chất protein và 0,4 kg chất lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là : 80%x + 60%y ≥ 0,9 và 20%x + 40%y ≥ 0,4

Hay 4x + 3y ≥ 4,5 và x + 2y ≥ 2

Vậy hệ điều kiện mà x, y cần thỏa mãn là :

Miền nghiệm của hệ trên là miền trong tứ giác lồi ABCD kể cả biên (được mô tả ở hình bên).

b) Chi phí để mua x(kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là:

T=45x + 35y (nghìn đồng)

c) Ta cần tìm x, y sao cho T là nhỏ nhất. ta đã biết T đạt nhỏ nhất tại một trong các đỉnh tứ giác ABCD.

Ta có: A(1,6;1,1),B(1,6;0,2),C(0,6;0,7),D(0,3;1).

Kiểm tra được tại x = 0,6; y = 0,7 thì T = 51,5 (nghìn đồng) là nhỏ nhất. vậy, gia đình đó mua 0,6kg thịt bò và 0,7 kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất. cụ thể là phải chi phí 51,5 nghìn đồng.