Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm E⁢(1;-2;4),F⁢(1;-2;-3). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\] sao cho tổng \(ME + MF\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ của điểm M.

Phương pháp giải:

- Kiểm tra điểm \(E,{\mkern 1mu} F\) nằm khác phía so với mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\].

- \(ME + MF\) khi và chỉ khi M là giao điểm của EF và \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\].

Giải chi tiết:

\(E\left( {1; - 2;4} \right),{\mkern 1mu} F\left( {1; - 2; - 3} \right)\) có zE=4>0,zF=⁢ -3<0⇒E,F nằm khác phía so với mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]

Khi đó, \(ME + MF \ge EF \Rightarrow {\left( {ME + MF} \right)_{\min }} = EF\) khi và chỉ khi \(M\) trùng với \[{M_0}\] là giao điểm của EF và  \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]

Ta có: E⁢F→⁢ =(0;0;-7)⇒E⁢F:x=1y=-2z=4-t⇒Giả sử M0(1;−2;4−t)M0(1;−2;4−t)

Mà \[{M_0}\left( {1; - 2;4 - t} \right)\]

M0∈(O⁢x⁢y)⇒4-t=0⇔t=4⁢⁢ ⇒M0⁢(1;-2;0)

Vậy, tổng \[ME + MF\] có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \[M\left( {1; - 2;0} \right)\].