Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log2cosx − mlogcos2x − m2 + 4 = 0 vô nghiệm

Phương pháp giải:

- Đặt t = logcosx và tìm điều kiện của t.

- Thay vào phương trình đã cho đưa về phương trình ẩn .

- Biến đổi điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình vừa có được và tìm m.

Giải chi tiết:

Điều kiện: cosx ≠ 0  ⇔  x ≠  π2 + kπ,  k∈  ℤ

Ta có: 

log2cosx − mlogcos2x − m2 + 4 = 0⇔ log2cosx − 2mlogcosx − m2 + 4 = 0

Đặt t = logcosx Do 0 < cosx ≤ 1 nên logcosx ≤ 0 hay t ∈ −∞; 0

Phương trình trở thành t2 − 2mt − m2 + 4 = 0 (*) có Δ' = m2 + m2 − 4 = 2m2 − 4

Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt) t1 , t2 thỏa mãn 0 < t1 ≤ t2

TH1 : (*) vô nghiệm ⇔  Δ' =  2m2 − 4 < 0  ⇔ −2 < m < 2

TH2 : (∗) có hai nghiệm thỏa mãn  

⇔Δ' ≥ 0t1 + t2 > 0t1t2 > 0   ⇔  2m2 − 4 ≥ 02m > 0−m2 + 4  > 0   ⇔ m ≥ 2m ≤ −2m  > 0−2 < m < 2   ⇔  2 ≤  m < 2  

Kết hợp hai trường hợp ta được m ∈ −2 ;  2

Chọn C