Cho x,y là các số thực thỏa mãn 2x+y−1(3x+y+1)=3x+3y+1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+xy+y2 .

Ta có: 

2x+y−13x+y+1=3x+3y+1⇔2x+y3x+y+1=6x+6x+2⇔6x+y+2x+y=6x+y+2

Đặt x+y=t  phương trình trở thành 6t+2t=6t+2⇔6t+2t−6t−2=0

Xét hàm số ft=6t+2t−6t−2 ta có:

f't=6t.ln6+2t.ln2−6f''t=6tln26+2t.ln22>0   ∀t∈ℝ

Do đó hàm số y=f't đồng biến trên ℝ , suy ra phương trình f′(t)=0f′(t)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình ft=0  có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: f(0)=60+20−6.0−2=0f(1)=61+21−6.1−2=0  do đó phương trình  ft=0 có đúng hai nghiệm t=0,t=1

⇐x+y=0x+y=2

TH1: x+y=0⇒y=−x

Thay vào P ta có: P=x2+xy+y2=x2≥0

TH2: x+y=1⇔y=1−x

Thay vào P ta có:  

P=x2+x1−x+1−x2=x2−x+1=x−122+34≥34

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0, đạt được khi x+y=0Đáp án cần chọn là: D