Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a2. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2  nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và V2 là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số V2V1 bằng

Gọi I là điểm thỏa mãn IA→+IB→+IC→+ID→+IS→=0→

Ta có:

Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2Q=MI→+IA→2+MI→+IB→2+MI→+IC→2+MI→+ID→2+MI→+IS→2Q=5MI2+2MI→IA→+IB→+IC→+ID→+IS→+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2Q=5MI2+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2

Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 không đổi, do đó Qmin⇔MImin

Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MI⊥SCD

Gọi O=AC∩BD ta có SO⊥ABCD và:

IA→+IB→+IC→+ID→+IS→=0→⇔IA→+IC→+IB→+ID→+IS→=0→⇔2IO→+2IO→+IS→=0⇔4IO→=IS→

Gọi E là trung điểm của CD. Ta có:

CD⊥OECD⊥SO⇒CD⊥(SOE)⇒(SOE)⊥(SCD)⇒IM⊂SOE

Trong (SOE) kẻ OH∥IM⇒OH⊥SETa có:

SE=SC2−CE2=2a2−a24=a72SO=SE2−OE2=7a24−a24=a62SMSH=SISO=45SHSE=SO2SE2=6a24:7a24=67⇒SMSE=SMSH.SHSE=45.67=2435⇒MESE=1135

Ta có: SM∩ABCD=E⇒dM;ABCDdS;ABCD=MESE=1135

Vậy V2V1=VM.ACDVS.ABCD=13.dM;ABCD.SACD13.dS;ABCD.SABCD=1135.12=1170

Đáp án cần chọn là: C