Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;1), B(3;−1;1) và C(−1;−1;1). Gọi (S₁) là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; (S₂) và (S₃) là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu (S₁), (S₂), (S₃)?

Đáp án B

Gọi phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là ax+by+cz+d=0 (điều kiện a2+b2+c2>0).

Khi đó ta có hệ điều kiện sau:

dA;P=2dB;P=1dC;P=1⇔a+2b+c+da2+b2+c2=23a−b+c+da2+b2+c2=1−a−b+c+da2+b2+c2=1⇔a+2b+c+d=2a2+b2+c23a−b+c+d=2a2+b2+c2−a−b+c+d=2a2+b2+c2

Khi đó ta có: 

3a−b+c+d=−a−b+c+d⇔3a−b+c+d=−a−b+c+d3a−b+c+d=a+b−c−d⇔a=0a−b+c+d=0

Với a = 0 thì

2b+c+d=2b2+c22b+c+d=2−b+c+d⇔2b+c+d=2b2+c24b−c−d=0c+d=0⇔c=d=0,b≠0c+d=4b,c=±22b.

Do đó có 3 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Với a−b+c+d=0 thì ta có

3b=2a2+b2+c22a=a2+b2+c2⇔3b=4a2a=a2+b2+c2⇔b=43ac=113a.

Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.