Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng d: x1=y1=z+1−2; ∆₁: x−32=y1=z−11 và ∆₂: x−11=y−22=z1. Đường thẳng ∆ vuông góc với d đồng thời cắt ∆₁, ∆₂ lần lượt tại H, K sao cho HK nhỏ nhất. Biết rằng ∆ có một vectơ chỉ phương u→(h; k; 1). Giá trị h – k bằng

Đáp án đúng là: A

Giả sử H(3 + 2t; t; 1 + t) ∈ ∆₁ và K(1 + t'; 2 + 2t'; t') ∈ ∆₂

Ta có: HK→ = (t' – 2t – 2; 2t' – t + 2; t' – t – 1)

Đường thẳng d: x1=y1=z+1−2 có vectơ chỉ phương là ud→ = (1; 1; −2)

Vì d ^ ∆ nên ud→ ^ HK→ Þ ud→ . HK→ = 0

Û t' – 2t – 2 + 2t' – t + 2 – 2(t' – t – 1) = 0

Û t' – t + 2 = 0 Û t' = t – 2

Nên HK→ = (−t – 4; t – 2; −3)

Þ HK² = (t + 4)² + (t – 2)² + 9

Û HK² = 2t² + 4t + 29 = 2(t + 1)² + 27 ≥ 27 ∀ t

Þ HK_min = 33 Û t = −1 .

Khi đó HK→ = (−3; −3; −3) song song với vectơ (1; 1; 1)

Suy ra đường thẳng ∆ nhận u→(1; 1; 1) là một vectơ chỉ phương nên h = k = 1

Vậy h – k = 1 – 1 = 0

Vậy h – k = 0.