a. Xét tam giác ABH và tam giác ACH, ta có:
AB = AC ( giả thiết )
BH = CH ( H là trung điểm BC )
AH là cạnh chung
⇒ Tam giác ABH = tam giác ACH ( cạnh - cạnh - cạnh )

b. Xét tam giác ABC có, AB = AC ( giả thiết ) 
⇒ Tam giác ABC cân tại A
mà AH là đường trung tuyến ( giả thiết )
⇒ AH vừa là đường cao của tam giác ABC ( tính chất tam giác cân )

Tam giác ABC có AH là đường cao ( chứng minh trên ) và BH = HC ( H là trung điểm của BC )
⇒ AH là đường trung trực của tam giác ABC

c. Ta có: Chứng minh 2 tam giác vuông AHB và IHC ( 2 cạnh góc vuông )
⇒ Góc BAH = góc CIH ( 2 góc tương ứng bằng nhau )
⇒ AB // IC 

d. Ta có: Góc BAH = góc CIH ( chứng minh trên ) 
mà góc BAH = góc CAH ( AH vừa là phân giác của tam giác ABC cân tại A ) 
Từ hai điều này ⇒ Góc CAH = góc CIH