Bài 4: Mặt nón, Hình nón và Khối nón

Bài 19 (trang 60 sgk Hình Học 12 nâng cao): Một mặt cầu gọi là ngoại tuyến hình nó nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qau đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính bằng r. tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

c) Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R. Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính của đáy nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

Lời giải:

a) Giả sử hình nón H có đỉnh S và đường tròn đáy (O, r) (hình vẽ). Lấy điểm M bất kì trên (O, r) thì tam giác SOM vuông ở O. Trong mặt phẳng (SOM) trung trực của đoạn thẳng SM cắt SO tại I. Khi đó ta có IF = IM, ngoài ra do I nằm trên trục của đường tròn. Do I tồn tại duy nhát khi M thay đỏi trên (O), suy ra một mặt cầu tâm I bán kính R = IS chính là mặt cầu duy nhất ngoại tiếp hình nón.

b) Gọi SS’ là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón (SS’ > h). tam giác vuông SMS’ vuông tại M, có đường cao OM.

OM²=OS.OS'=h(SS'-h)

Suy ra

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là

c) Nếu hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r, nội tiếp mặt cầu bán kính R thì r²=h(2R-h)

Khi đó độ dài đường sinh là: