a) Hình bình hành ABCD gọi OO là giao điểm của AC và BD ⇒O⇒O là trung điểm của AC, BD (tính chất )

Xét hai tam giác vuông ΔOEBΔOEB và OFDOFD có:

OB=ODOB=OD

ˆBOE=ˆDOFBOE^=DOF^ (đối đỉnh)

⇒ΔOEB=ΔOFD⇒ΔOEB=ΔOFD (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒BE=DF⇒BE=DF (hai cạnh tương ứng)

Và có BE//DFBE//DF (vì cùng vuông góc với AC giả thiết)

Từ hai điều trên ⇒⇒ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Xét ΔHBCΔHBC và ΔKDCΔKDC có:

ˆBHC=ˆDKC=90oBHC^=DKC^=90o (giả thiết)

ˆHBC=ˆKDCHBC^=KDC^ (=ˆBAD=BAD^ đồng vị)

⇒ΔHBC∼ΔKDC⇒ΔHBC∼ΔKDC (g.g)

⇒CHCK=CBCD⇒CHCK=CBCD (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒CH.CD=CK.CB⇒CH.CD=CK.CB (đpcm)

c) Xét ΔAEBΔAEB và ΔAHCΔAHC có:

ˆAA^ chung

ˆAEB=ˆAHC=90oAEB^=AHC^=90o

⇒ΔAEB∼ΔAHC⇒ΔAEB∼ΔAHC (g.g)

⇒AEAH=ABAC⇒AEAH=ABAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AE.AC=AB.AH⇒AE.AC=AB.AH (1)

Xét ΔAFDΔAFD và ΔAKCΔAKC có:

ˆAA^ chung

ˆAFD=ˆAKC=90oAFD^=AKC^=90o

⇒ΔAFD=ΔAKC⇒ΔAFD=ΔAKC (g.g)

⇒AFAK=ADAC⇒AFAK=ADAC (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

⇒AF.AC=AK.AD⇒AF.AC=AK.AD (2)

Ta có OE=OF (suy ra từ ΔOEB=ΔOFDΔOEB=ΔOFD câu a)

OA=OC (tính chất hình bình hành)

⇒OA−OE=OC−OF⇒OA−OE=OC−OF hay AE=FCAE=FC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.ACAB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC

=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2 (đpcm)