Chúng ta sẽ giải từng câu một.

### Câu 1: Tìm x, y nguyên dương thoả mãn \( x(x+1) = y(y+2) \)

Giả sử \( x(x + 1) = y(y + 2) \).
Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[
x^2 + x = y^2 + 2y
\]

Rearranging gives:

\[
x^2 - y^2 + x - 2y = 0
\]

Chúng ta có thể phân tích thành:

\[
(x - y)(x + y) + (x - 2y) = 0
\]

Giải phương trình này trong các trường hợp cụ thể cho các giá trị của \( x \) và \( y \) nguyên dương sẽ là một cách tiếp cận hữu ích.

Thử một số giá trị nhỏ:
- Nếu \( x = 1 \), thì \( 1(1 + 1) = 2 \) chưa có giá trị \( y \).
- Nếu \( x = 2 \), thì \( 2(2 + 1) = 6 \) \(\Rightarrow y(y + 2) = 6 \Rightarrow y^2 + 2y - 6 = 0\).
- Giải phương trình này, delta là \( b^2 - 4ac = 4 + 24 = 28\) (không có nghiệm nguyên).

Tiếp tục với các giá trị \( x = 3, 4 \ldots \) cho đến khi tìm ra các giá trị thỏa mãn.

### Câu 2: Tìm số nguyên x, y sao cho \( 8x^3 + 7x^2 + 2x + 4 = y^3 \)

Ta sẽ thử từng giá trị của \( x \):
- Thử \( x = 0 \):
\[
8(0)^3 + 7(0)^2 + 2(0) + 4 = 4 \Rightarrow y^3 = 4 \quad (y \text{ không nguyên}).
\]
- Thử \( x = 1 \):
\[
8(1)^3 + 7(1)^2 + 2(1) + 4 = 8 + 7 + 2 + 4 = 21 \quad (y^3 = 21 \text{ không nguyên}).
\]
- Thử \( x = 2 \):
\[
8(2)^3 + 7(2)^2 + 2(2) + 4 = 64 + 28 + 4 + 4 = 100 \quad (y = 4.64, không nguyên).
\]

Tiếp tục thử với các giá trị khác cho \( x \) cho đến khi tìm được \( y \) nguyên.

### Câu 3: Tìm số nguyên dương n sao cho \( A = n^4 + 3n^3 + 3n^2 + 7 \) là số chính phương

Ta có thể thử với các giá trị của \( n \):
- Thử \( n = 1 \):
\[
A = 1^4 + 3 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 7 = 1 + 3 + 3 + 7 = 14 \text{ (không phải là chính phương)}.
\]
- Thử \( n = 2 \):
\[
A = 2^4 + 3 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 7 = 16 + 24 + 12 + 7 = 59 \text{ (không chính phương)}.
\]

Tiếp tục cho đến khi tìm được giá trị \( n \) sao cho \( A \) là một số chính phương, hoặc dùng một cách tiếp cận khác như phân tích đa thức trên.

### Câu 4: Tìm số tự nhiên n sao cho \( 2n + 7 \) và \( 18n + 22 \) đều là số chính phương

Giả sử:
- \( 2n + 7 = k^2 \)
- \( 18n + 22 = m^2 \)

Đưa về một hệ phương trình và tìm giá trị. Từ \( 2n = k^2 - 7 \) dẫn đến \( n = \frac{k^2 - 7}{2} \) (khi \( k^2 - 7 \) nguyên dương và chẵn).

Sau đó thay vào phương trình thứ hai và tìm giá trị \( k \) sao cho \( m^2 \) là chính phương.

Một lần nữa, tiếp tục thử từng giá trị từ 1 trở đi cho đến khi tìm ra \( k \) thỏa mãn cả hai điều kiện.

---

Quá trình này có thể yêu cầu nhiều thao tác lặp đi lặp lại, nhưng thông thường việc tìm giá trị cho các phương trình đòi hỏi thử nghiệm với các số khác nhau. Hãy tiếp tục kiểm tra từng đề giải cho đến khi tìm được đáp án hoàn chỉnh.