Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng tính chất tỉ lệ cơ sở, tức là nếu hai tam giác có cùng một đỉnh và đồng dạng thì tỉ lệ giữa cạnh bên của hai tam giác bằng tỉ lệ giữa cạnh đối của các góc đó.

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

• Vì tam giác ABC vuông tại A, nên tia phân giác của góc B sẽ là đường thẳng vuông góc với AC. Do đó, IM sẽ là đường trung trực của đoạn AC.
• Ta có AM = MC do đây là tam giác vuông cân, vậy M là trung điểm của AC.
• Do AD = AB nên tam giác ABD cũng là tam giác vuông cân. Vậy, tia phân giác của góc A cũng là đường trung trực của đoạn BD.
• Khi đó, I là trung điểm của BD.

Từ đó, ta có:

• Đường thẳng IM là đường trung trực của AC nên ta có MI = MC.
• Đường thẳng IB là đường trung trực của AD nên ta có IB = ID.
• Vì AI là đường phân giác của góc A nên ta có MI/MB = AC/AB = CI/IB.

Áp dụng định lí Phân giác trong tam giác, ta có:

• GIả sử BM = x, thì MC = BC - x.
• Ta có MI/MB = CI/IB, hay (MC + x)/(MC - x) = AB/AD = 1. Vậy, ta có MC = x và BM = BC - x = AB, tức B là trung điểm của cạnh AC.
• Vậy, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.

Vậy, ta đã chứng minh được: a) Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A. b) Tia phân giác của góc B cắt AC tại trung điểm M. c) Tia phân giác của góc A cắt BD tại trung điểm I.