a) Ta có:

- Vì tam giác ABC vuông tại B nên đường phân giác AD cũng là đường cao của tam giác ABD.

- Vì tam giác ADE vuông tại E nên đường cao DE cũng là đường trung trực của cạnh AD.

Do đó ta có thể suy ra:

- AD là đường trung trực của cạnh BE (vì AD là đường cao của tam giác ABD và BE là cạnh của tam giác ABD). - DE là đường trung trực của cạnh AC (vì DE là đường cao của tam giác ADE và AC là cạnh của tam giác ADE).

Vậy ta có thể kết luận rằng AD là đường trung trực của BE.

b) Ta có:

- Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên BD = CD.

- Vì tam giác ABD vuông tại B nên BD là đường cao của tam giác ABD suy ra AD2 = AB.AD.

- Vì tam giác ACD vuông tại C nên CD là đường cao của tam giác ACD suy ra AD2 = AC.AD.

Từ đó ta có AB.AD = AC.AD hay AB = AC.

Khi đó ta có:

-ADF = ACB (do DE vuông góc AC).

- AFD = ABD (do AB là đường phân giác của tam giác ABD).

- Vì AB = AC nên ACB = ABC suy ra ABD = CBD.

Từ đó ta có ADF = CBD và AFD = ABD suy ra tam giác ADF và tam giác ADC có cặp góc đồng nhất do đó chúng bằng nhau theo trường hợp đồng dạng góc-góc-góc.

Vậy AADF = AADC.

c) Ta có:

- BA+BC = AB+BC (vi tam giác ABC vuông tại B nên AB là cạnh huyền suy ra AB = BC).

- DE+ = AD+CE (vì tam giác ACD vuông tại C nên AC là cạnh huyền suy ra AC = DE).

Ta cần chứng minh AB+BC > AD+CE.

Từ b ta có ∆ADF = ∆ADC suy ra AF = CD.

Áp dụng định lí tam giác trong tam giác ACF ta có:

- AF+FC > AC (định lí tam giác).

- AF+FC = CD+FC (vi AF = CD).

- CD+FC > CE (định lí tam giác trong tam giác CDE).

Từ đó ta có AB+BC = 2AB > 2(AC-FC) > 2(CD-CE) = AD+CE. Vậy BA+BC > DE+AC.