a) Để chứng minh tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AEC = góc AHC.

• Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc AEM = góc MAO (góc đồng sử dụng trên cung cung nửa kính).
• Vì MBC là cát tuyến của đường tròn (O), nên góc MBC = góc MCB (góc đồng sử dụng với cát tuyến).
• Vì MA và MC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc AMC = góc MCA (góc đồng sử dụng trên cung cung nửa kính).
• Từ đó, góc AEC = góc AEM - góc MEC = góc MAO - góc MCB.
• Góc AHC = góc AMC - góc MBC = góc MCA - góc MCB.
• Vì góc MAO = góc MCA, nên góc AEC = góc AHC.
• Từ đó, tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh tam giác MBA đồng dạng với tam giác MAC và MB.MC = MH.MO, ta có:

• Góc MBA = góc MAC (vì hai tam giác đồng dạng).
• Góc MHB = góc MOA (góc đồng sử dụng trên cung cung nửa kính).
• Từ đó, hai tam giác MHB và MOA đồng dạng theo góc.
• Từ tam giác MHB và MOA đồng dạng, ta có MH/MO = MB/MA (tương tự tam giác đồng dạng).
• Do đó, MB.MC = MA.MH.

c) Để chứng minh góc BDC = 1/2 góc BHC và AE // BD, ta có:

• Góc BDC = góc MDC (vì MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
• Góc BHC = góc MHC (góc vuông).
• Ta cần chứng minh góc MDC = 1/2 góc MHC và AE // BD.
• Chứng minh góc MDC = 1/2 góc MHC: Ta có góc MHC = góc BHC (vì BH là đường cao trong tam giác BHC).
• Vì BH // AE (do BH và AE cùng vuông góc với MO), nên góc MHC = góc MDC.
• Do đó, góc BDC = 1/2 góc BHC và AE // BD.