27/05/2023 11:23:08

Cho tam giác ABC nhọn,

Bài 2. (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cần có đường cao AD và P thuộc AD. Các
đường thẳng PB.PC lần lượt cắt CA,AB tại E,F. Giả sử tứ giác AEDF nội tiếp. Chứng
minh rằng
PA
PD
A
(tan B + tan C) cot
ot 4

2 trả lời

+ Trả lời +3 điểm

Gia sư

156

Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi

Ta có:
$$\frac{PA}{PD}=\frac{S_{PAB}}{S_{PDC}}=\frac{PB\cdot AE\cdot \sin{\angle PAB}}{PC\cdot AF\cdot \sin{\angle PDC}}=\frac{PB\cdot AE}{PC\cdot AF}\cdot \frac{\sin{\angle PAB}}{\sin{\angle PDC}}$$
Vì tứ giác AEDF nội tiếp nên $\angle AFE=\angle ADE$, suy ra $\angle PAB=\angle PDC$. Do đó:
$$\frac{PA}{PD}=\frac{PB\cdot AE}{PC\cdot AF}$$
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác AEDF ta có:
$$AE\cdot DF+DE\cdot AF=AD\cdot EF$$
Mà $AE\cdot DF=BE\cdot CF$ (do $AEDF$ nội tiếp) và $DE\cdot AF=PD\cdot AD$ (do $ADFE$ nội tiếp), suy ra:
$$BE\cdot CF+PD\cdot AD=AD\cdot EF$$
Từ đó suy ra:
$$\frac{BE}{CF}=\frac{AD\cdot EF-PD\cdot AD}{AD^2}=\frac{EF}{AD}-\frac{PD}{AD}$$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta có:
$$\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{BE}{CF}+\frac{1}{\tan{B}\tan{C}}$$
Do đó:
$$\frac{1}{\tan{B}\tan{C}}=\cos{A}-\frac{BE}{CF}=\cos{A}-\left(\frac{EF}{AD}-\frac{PD}{AD}\right)=\cos{A}-\frac{EF}{AD}+\frac{PD}{AD}$$
Cuối cùng, kết hợp với công thức đầu tiên, ta có:
$$\frac{PA}{PD}=\frac{PB\cdot AE}{PC\cdot AF}=\frac{BE}{CF}=\frac{1}{\tan{B}\tan{C}}+\frac{EF}{AD}-\frac{PD}{AD}=\frac{1}{\tan{B}\tan{C}}+\frac{EF}{AD}-\frac{PD}{AD}\cdot \frac{\sin^2{\angle A}}{\cos{\angle A}}=\frac{1}{\tan{B}\tan{C}}+\frac{EF}{AD}+\frac{PD}{AD}\cdot \tan{A}$$
Đpcm.

2 trả lời

Thưởng th.8.2024

Xếp hạng

0

Ta có:

Tứ giác AEDF nội tiếp, do đó góc AEF = góc ADF.
Góc PDB = góc ADF (cùng chắn cung AD trên đường tròn (AEDF)).
Góc PDC = góc ADE (cùng chắn cung AD trên đường tròn (AEDF)).
Góc ADE + góc AEF = góc BAC (tổng góc trong tam giác ABC).
Góc AEF = 180° - góc PEB - góc PFC (tổng góc ngoài hai đỉnh E, F của tam giác EFB).
Góc PEB = góc ABC (cùng quy về cùng cặp đồng vị).
Góc PFC = góc ACB (cùng quy về cùng cặp đồng vị).

Từ các quan sát trên, ta có:

góc ADE + 180° - góc PEB - góc PFC = góc BAC

Tương đương với:

góc ADE = góc PEB + góc PFC - góc BAC

Do đó:

tan góc ADE = tan(góc PEB + góc PFC - góc BAC)

Áp dụng công thức tan(a+b) ta được:

tan góc ADE = (tan góc PEB + tan góc PFC - tan góc BAC) / (1 - tan góc PEB * tan góc PFC)

Do tam giác ABC nhọn, nên góc A là góc nhọn. Ta có:

cot(góc A/2) = (số học) / BD

Trong đó, BD là đường cao của tam giác ABC và số học là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác AEDF nội tiếp, ta được:

AE * DF + AF * DE = AD * EF

Do tam giác ABC nhọn, nên ta có:

BD = 2 * số học / BC

Do đó:

AD = 2 * BD * sin(góc A/2) = 2 * số học * sin(góc A/2) / BC

Ta có:

PA/PD = (sin góc PAD) / (sin góc PDA) = (sin góc ADE) / (sin góc PEB + sin góc PFC)

Thay các công thức đã tính được vào, ta được:

PA/PD = (tan góc PEB + tan góc PFC - tan góc BAC) / (cot(góc A/2) * (1 - tan góc PEB *

1

0

Trả lời nhanh trong 10 phút và nhận thưởng

Xem chính sách

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI

Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội
Fanpage:	https://www.fb.com/lazi.vn
Group:	https://www.fb.com/groups/lazi.vn
Kênh FB:	https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB
LaziGo:	https://go.lazi.vn/join/lazigo
Discord:	https://discord.gg/4vkBe6wJuU
Youtube:	https://www.youtube.com/@lazi-vn
Tiktok:	https://www.tiktok.com/@lazi.vn

Bài tập liên quan

Một nhà đầu tư mua lại một xí nghiệp, trả ngay 7 triệu USD. Sau đó 1 năm, cứ mỗi năm trả 1 triệu USD liên tục trong 5 năm cho đến hết. Lãi suất 10%/năm. Hỏi hiện giá của xí nghiệp này bằng bao nhiêu USD? (Toán học - Đại học)

2 trả lời

Một ô tô đi từ A đến B chở 50 nghìn tấn gỗ, nhưng khi chặt chộm lại lỡ tay chặt dư ra gấp 5 lần nên nhờ xe đại tướng tô lâm chở hộ. Hỏi xe đó hãng gì và có bao nhiêu mã lực (Toán học - Đại học)

1 trả lời

Cho các ma trận A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}$; B = $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$; C = $\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$. Phép tính nào sau đây biểu thị tốt nhất (A+C), B(A+C). Hãy thực hiện phép tính đó (Toán học - Đại học)

1 trả lời

Tính các tích phân sau 1) $\int_{3}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)(x-2)} dx$ 2) $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{(x-1)(x+2)(x+3)} dx$ 3) $\int_{3}^{+\infty} \frac{(5x-3)}{(x-2)(3x^2 + 2x-1)} dx$ 4) $\int_{2}^{+\infty} \frac{(x^2+1)}{x(x-1)^3} dx$ 5) $\int_{2}^{+\infty} \frac{dx}{(x-1)^2 (x+1)^3}$ (Toán học - Đại học)

0 trả lời

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C), tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng bao nhiêu? (Toán học - Đại học)

1 trả lời

Đồ thị của hàm số y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 có hai điểm cực trị là A và B. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB (Toán học - Đại học)

2 trả lời

Giải bất phương trình: (Toán học - Đại học)

2 trả lời

Cho ≺ là 1 quan hệ trên X={ 2, 3, 5, 12, 15, 45, 60, 120} xác định bởi: ∀x, y ∈ X, x ≺ y ↔ y = kx, k ∈ Z^+ (Toán học - Đại học)

0 trả lời

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui	Buồn	Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

Trang chủ	Giải đáp bài tập	Đố vui	Ca dao tục ngữ	Liên hệ	Tải ứng dụng Lazi
Giới thiệu	Hỏi đáp tổng hợp	Đuổi hình bắt chữ	Thi trắc nghiệm	Ý tưởng phát triển Lazi
Chính sách bảo mật	Trắc nghiệm tri thức	Điều ước và lời chúc	Kết bạn 4 phương	Xem lịch
Điều khoản sử dụng	Khảo sát ý kiến	Xem ảnh	Hội nhóm	Bảng xếp hạng
Tuyển dụng	Flashcard	DOL IELTS Đình Lực	Mua ô tô	Bảng Huy hiệu
	Thơ văn danh ngôn	Từ điển Việt - Anh	Đề thi, kiểm tra	Xem thêm

Cho tam giác ABC nhọn,

Một nhà đầu tư mua lại một xí nghiệp, trả ngay 7 triệu USD. Sau đó 1 năm, cứ mỗi năm trả 1 triệu USD liên tục trong 5 năm cho đến hết. Lãi suất 10%/năm. Hỏi hiện giá của xí nghiệp này bằng bao nhiêu USD? (Toán học - Đại học)

Một ô tô đi từ A đến B chở 50 nghìn tấn gỗ, nhưng khi chặt chộm lại lỡ tay chặt dư ra gấp 5 lần nên nhờ xe đại tướng tô lâm chở hộ. Hỏi xe đó hãng gì và có bao nhiêu mã lực (Toán học - Đại học)

Hãy so sánh các phân số sau (Toán học - Đại học)

Tìm phân số: (Toán học - Đại học)

Anh chị hãy giải các bài toán sau cho học sinh tiểu học (Toán học - Đại học)

Rút gọn biểu thức (Toán học - Đại học)

So sánh (Toán học - Đại học)

Tìm các số hữu tỉ không âm xen giữa các phân số sau (Toán học - Đại học)

Rút gọn phân số (Toán học - Đại học)

đặt tính rồi tính (Toán học - Đại học)

Tìm các giới hạn, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x + 1}} \) (Toán học - Đại học)

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C), tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích S bằng bao nhiêu? (Toán học - Đại học)

Đồ thị của hàm số y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 có hai điểm cực trị là A và B. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng AB (Toán học - Đại học)

Giải bất phương trình: (Toán học - Đại học)

Cho ≺ là 1 quan hệ trên X={ 2, 3, 5, 12, 15, 45, 60, 120} xác định bởi: ∀x, y ∈ X, x ≺ y ↔ y = kx, k ∈ Z^+ (Toán học - Đại học)

Circle the correct item (Toán học - Đại học)

Hoàn thành các câu. Sử dụng tính từ sở hữu đúng hoặc đại từ sở hữu (Toán học - Đại học)

Chứng minh rằng MD vuông BC (Toán học - Đại học)

Cho tam giác ABC nhọn,

Đăng nhập

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời