Ta có:

• Tứ giác AEDF nội tiếp, do đó góc AEF = góc ADF.
• Góc PDB = góc ADF (cùng chắn cung AD trên đường tròn (AEDF)).
• Góc PDC = góc ADE (cùng chắn cung AD trên đường tròn (AEDF)).
• Góc ADE + góc AEF = góc BAC (tổng góc trong tam giác ABC).
• Góc AEF = 180° - góc PEB - góc PFC (tổng góc ngoài hai đỉnh E, F của tam giác EFB).
• Góc PEB = góc ABC (cùng quy về cùng cặp đồng vị).
• Góc PFC = góc ACB (cùng quy về cùng cặp đồng vị).

Từ các quan sát trên, ta có:

góc ADE + 180° - góc PEB - góc PFC = góc BAC

Tương đương với:

góc ADE = góc PEB + góc PFC - góc BAC

Do đó:

tan góc ADE = tan(góc PEB + góc PFC - góc BAC)

Áp dụng công thức tan(a+b) ta được:

tan góc ADE = (tan góc PEB + tan góc PFC - tan góc BAC) / (1 - tan góc PEB * tan góc PFC)

Do tam giác ABC nhọn, nên góc A là góc nhọn. Ta có:

cot(góc A/2) = (số học) / BD

Trong đó, BD là đường cao của tam giác ABC và số học là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác AEDF nội tiếp, ta được:

AE * DF + AF * DE = AD * EF

Do tam giác ABC nhọn, nên ta có:

BD = 2 * số học / BC

Do đó:

AD = 2 * BD * sin(góc A/2) = 2 * số học * sin(góc A/2) / BC

Ta có:

PA/PD = (sin góc PAD) / (sin góc PDA) = (sin góc ADE) / (sin góc PEB + sin góc PFC)

Thay các công thức đã tính được vào, ta được:

PA/PD = (tan góc PEB + tan góc PFC - tan góc BAC) / (cot(góc A/2) * (1 - tan góc PEB *